85直线、平面垂直-学生版

1、判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)直线 l 与平面 α 内的无数条直线都垂直，则l⊥α.() (2)垂直于同一个平面的两平面平行．() (3)直线 a⊥α，直线 b⊥α，则 a∥b.() (4)若 α⊥β，a⊥βa∥α.() (5)若直线 a⊥平面 α，直线 b∥α，则直线 a 与 b 垂直．() 2、下列命题中不正确的是() A．如果平面 α⊥平面 β，且直线 l∥平面 α，则直线 l⊥平面 β B．如果平面 α⊥平面 β，那么平面 α 内一定存在直线平行于平面β C．如果平面 α 不垂直于平面 β，那么平面 α 内一定不存在直线垂直于平面β D．如果平面 α⊥平面 γ，平面 β⊥平面 γ，α∩β＝l，那么 l⊥γ 3、设平面 α 与平面 β 相交于直线 m，直线 a 在平面 α 内，直线 b 在平面 β 内，且 b⊥m，则“α⊥β” 是“a⊥b”的() A．充分不必要条件 C．充分必要条件 B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 第 1 课时 进门测进门测 4、对于四面体 ABCD，给出下列四个命题： 1 ①若 AB＝AC，BD＝CD，则 BC⊥AD； ②若 AB＝CD，AC＝BD，则 BC⊥AD； ③若 AB⊥AC，BD⊥CD，则 BC⊥AD； ④若 AB⊥CD，AC⊥BD，则 BC⊥AD. 其中为真命题的是() A．①②B．②③C．②④D．①④ 5、在三棱锥 P－ABC 中，点 P 在平面 ABC 中的射影为点 O. (1)若 PA＝PB＝PC，则点 O 是△ABC 的________心． (2)若 PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，则点 O 是△ABC 的________心． 作业检查作业检查 无 第 2 课时 阶段训练阶段训练 题型一题型一直线与平面垂直的判定与性质直线与平面垂直的判定与性质 例 1如图，菱形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 交于点 O，AB＝5，AC＝6，点 E，F 分别在 AD，CD 5 上，AE＝CF＝ ，EF 交 BD 于点 H.将△DEF 沿 EF 折到△D′EF 的位置．OD′＝ 10. 4 2 证明：D′H⊥平面 ABCD. 【同步练习】 1、在三棱锥 A－BCD 中， AB⊥平面 BCD， DB＝DC＝4， ∠BDC＝90°，P 在线段 BC 上， CP＝3PB， M，N 分别为 AD，BD 的中点．求证：BC⊥平面 MNP. 题型二题型二平面与平面垂直的判定与性质平面与平面垂直的判定与性质 3 例 2如图，四棱锥P－ABCD 中，AB⊥AC，AB⊥PA，AB∥CD，AB＝2CD，E，F，G，M，N 分别 为 PB，AB，BC，PD，PC 的中点． (1)求证：CE∥平面 PAD； (2)求证：平面 EFG⊥平面 EMN. 引申探究 1．在本例条件下，证明：平面EMN⊥平面 PAC. 4 2．在本例条件下，证明：平面EFG∥平面 PAC. 【同步练习】 1、 如图， 在直三棱柱ABC—A1B1C1中， D， E 分别为 AB， BC 的中点， 点 F 在侧棱 B1B 上， 且 B1D⊥A1F， A1C1⊥A1B1. 求证：(1)直线 DE∥平面 A1C1F； (2)平面 B1DE⊥平面 A1C1F. 5 1．直线与平面垂直 (1)定义 如果直线 l 与平面 α 内的任意一条直线都垂直，则直线l 与平面 α 垂直． (2)判定定理与性质定理 文字语言图形语言符号语言 第 3 课时 阶段重难点梳理阶段重难点梳理 一条直线与一个平面内的 判定定理两条相交直线都垂直，则 该直线与此平面垂直 a，b⊂α l⊥a a∩b＝O l⊥b   ⇒l⊥α   垂直于同一个平面的两条 性质定理 直线平行 2.直线和平面所成的角 (1)定义 a⊥α ⇒a∥b b⊥α  平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角．若一条直线 垂直于平面， 它们所成的角是直角， 若一条直线和平面平行， 或在平面内， 它们所成的角是 0°的角． π (2)范围：[0， ]． 2 6 3．平面与平面垂直 (1)二面角的有关概念 ①二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角； ②二面角的平面角：在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作垂直于棱的 两条射线，这两条射线所构成的角叫做二面角的平面角． (2)平面和平面垂直的定义 两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直． (3)平面与平面垂直的判定定理与性质定理 文字语言图形语言符号语言 一个平面过另一个平面的垂 判定定理 α  线，则这两个平面垂直 l⊂β ⇒α⊥β l⊥  α⊥β 两个平面垂直，则一个平面内 l⊂β   性质定理垂直于交线的直线与另一个平 α∩β＝a⇒ l⊥a  面垂直  l⊥α 【知识拓展】 重要结论： (1)若两平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面． (2)若一条直线垂直于一个平面，则它垂直于这个平面内的任何一条直线． (3)垂直于同一条直线的两个平面平行． 7 (4)一条直线垂直于两平行平面中的一个，则这一条直线与另一个平面也垂直． 题型三题型三求空间角求空间角 命题点 1求两条异面直线所成的角和二面角 例 3如图所示，在正方体 ABCD—A1B1C1D1中，E，F 分别是 AD，AA1的中点． (1)求直线 EF 和直线 AB1所成的角的大小； (2)求二面角 D—A1C1—D1的正切值． 命题点 2求直线和平面所成的角 例 4如图，在三棱锥 D—ABC 中，DA＝DB＝DC，点 D 在底面 ABC 上的射影为点 E，AB⊥BC， DF⊥AB 于点 F. (1)求证：平面 ABD⊥平面 DEF； (2)若 AD⊥DC，AC＝4，∠BAC＝60°，求直线 BE 与平面 DAB 所成的角的正弦值． 重点题型训练重点题型训练 8 【同步练习】 1、在如图所示的多面体ABCDE 中，已知 AB∥DE，AB⊥AD，△ACD 是正三角形，AD＝DE＝2AB ＝2，BC＝ 5，F 是 CD 的中点． (1)求证：AF∥平面 BCE； (2)求直线 CE 与平面 ABED 所成角的余弦值． 2、 如图所示，M，N，K 分别是正方体 ABCD—A1B1C1D1的棱 AB，CD，C1D1的中点． 求证：(1)AN∥平面 A1MK； (2)平面 A1B1C⊥平面 A1MK. 9 思导总结思导总结 一、证明线面垂直的常用方法及关键 (1)证明直线和平面垂直的常用方法有： ①判定定理； ②垂直于平面的传递性(a∥b，a⊥α⇒b⊥α)； ③面面平行的性质(a⊥α，α∥β⇒a⊥β)；④面面垂直的性质． (2)证明线面垂直的关键是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质．因此，判定定理 与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想． 二、面面垂直 (1)判定面面垂直的方法 ①面面垂直的定义； ②面面垂直的判定定理(a⊥β，a⊂α⇒α⊥β)． (2)在已知平面垂直时， 一般要用性质定理进行转化． 在一个平面内作交线的垂线， 转化为线面垂直， 然后进一步转化为线