量子力学讲义V定态微扰论

仅供个人参考 V. 定态微扰论 1．证明：非简并定态微扰中，基态的能量二级修正永为负。 答：已知，微扰论中，对能量为的态，能量二级修正 如态为基态，最低，在上式的取和中，的任一项均有，故永为负。 For personal use only in study and research; not for commercial use 2.证明：定态微扰论中，能量的一级近似是总哈密顿算符对零级波因数的平均值． 答：设满足的正交归一化零级波函数以表出。已知。则 正是能量一级近似. 3. 能级简并没有解除的解是否必定是近似解？反之，近似解是否必定是能级简并的？ For personal use only in study and research; not for commercial use 答：能级简并与波方程的近似解这两个概念的意义是不同的，没有什么直接的关联．我们知道，能级简并主要是 由于体系哈密顿量具有某种对称性．只要保持这种对称以那么即使是精确解，其能级也是简并的．如氢原子．如果对称性受到 彻底破坏或部分破坏，那么—般说来，简并应当消除或部分消除．应用微扰法求解定态问题时，得到的解一般均是近似解．非 简并态微扰的近似解，能级当然是非简并的．简并态微扰法中由于微扰的作用．不管能级简并是否能解除，或解除多少，得到 的解一般也是近似解． 4.一维谐振子，其能量算符为 设此谐振子受到微扰作用 (1) 不得用于商业用途 仅供个人参考 (2) 试求各能级的微扰修正（三级近似），并和精确解比较。 解：的本征函数、本征值记为。如众所周知 （3） 在表象（以为基矢）中，的矩阵元中不等于 0 的类型为 （4） 因此，不等于 0 的微扰矩阵元有下列类型： （5） （6） 按照非简并态能级三级微扰修正公式，能级的各级微扰修正为： （7） （8） 不得用于商业用途 仅供个人参考 （9） 本题显然可以精确求解，因为 令 可以写成 （10） 和式（1）比较，差别在于，因此的本征值为 （11） 因为，将作二项式展开，即得： （12） 和微扰论结果完全一致。 5. 氢原子处于基态． 沿 z 方向加一个均匀弱电场 平均电矩和电极化系数．(不考虑自旋．) ， 视电场为微扰， 求电场作用后的基态波函数(一级近似)． 能级(二级近似)， 不得用于商业用途 仅供个人参考 解：加电场前，基态波函数为 ，（波尔半径） （1） 满足能量方程 （2） 其中 视外电场为微扰，微扰作势为 （3） 由于为偶宇称，为奇宇称，所以一级能量修正为 0， (4) 波函数的一级微扰修正满足方程 （5） 除了一个常系数外，即球谐函数，考虑到和都是球对称的，易知必可表示成 (6) 代入（5）式，并计及 不得用于商业用途 仅供个人参考 其中 由式（5）可得满足的方程 （7） 为边界条件为处，。 用级数解法或试探法，不难求出式（7）的解为 （8） 因此（9） 按照微扰论公式，能级的二级修正为 将式（3），（9）代入上式，即得 （11） 不得用于商业用途 10）（ 仅供个人参考 利用的具体表示式（1），容易算出 因此 (12) 此即外电场引起的基态能级移动，它和成正比． 电偶极矩算符为，其平均值为 （13） a 根据和的对称性，易得 ，， （14） 原子的极化系数由下式确定：或（15） 由此容易求得（16）。 电子科技大学光电信息学院 Copyright 2005 不得用于商业用途 仅供个人参考 仅供个人用于学习、研究；不得用于商业用途。仅供个人用于学习、研究；不得用于商业用途。 For personal use only in study and research; not for commercial use. Nur für den persönlichen für Studien, Forschung, zu kommerziellen Zwecken verwendet werden. Pour l étude et la recherche uniquement à des fins personnelles; pas à des fins commerciales. т о л ь к одля людей, которые используются для обучения, исследований и не должны использоваться в коммерческих целях. 以下无正文以下无正文 不得用于商业用途