2001高等代数

20012001 年首都师师范大学硕士研究生入学考试年首都师师范大学硕士研究生入学考试 高等代数试卷高等代数试卷 专业：基础数学，应用数学；研究方向：各方向。专业：基础数学，应用数学；研究方向：各方向。 一、 （12 分） 计算行列式 1c 1b1 D n  c 2b1 c nb1 二、 （12 分） c 1b2 1c 2b2 c nb2 c 1bn c 2bn 1c nbn 如果f1(x), f2(x), f3(x)是数域 F 上线性空间 F[x]中三个互素的多项式，但其中任意两 个都不互素，证明：f1(x), f2(x), f3(x)线性无关。 三、 （14 分） a 11x1 a 12 x 2   a 21x1 a 22 x 2   证明线性方程组  an1x1 a n2 x 2  对任何b 1,b2 , a 1n x n b 1 a 2n x n  b 2 a nn x n b n ,b n 都有解的充要条件是系数行列式 a 11 a 21 a n1 a 12 a 22 a n2 a 1n a 2n a nn  0 四、 （12 分） 设 A，B 为 n 阶实对称矩阵，A 的所有特征值都小于a，B 的所有特征值都小于b，则 矩阵 A+B 的所有特征值都小于a b。 五、 （14 分）证明，对 n 维线性空间 V 中的线性变换可逆的充要条件是把 V 的一组基 仍变为一组基。 六、 （12 分）设 A 是数域 F 上的 n 阶方阵，I 是 n 阶单位矩阵，A  I，V 1,V2 分别是线性 方程组(I  A)X  0和(I  A)X  0的解空间，则FnV 1 V 2 ，其中F是所有 n 维向 量所成的向量空间。 七、 （14 分）设 4 阶实对称矩阵 A 的特征值为3,1,1,1，已知属于特征值 1 的特征向量是 n 2 word 111    100  1   , 2   , 3   01 0     00    1  1、求属于特征值3的特征向量； 2、求矩阵 A。 八、 （10 分）设为一复数，且是数域 F 上的非零多项式g(x)的根，令 W {f (x)F[x]| f ()  0} 证明：在 W 中存在多项式p(x),使得对任一f (x)W，都有p(x)| f (x)，且p(x)在数域 F 上不可约。 word 20022002 年首都师师范大学硕士研究生入学考试年首都师师范大学硕士研究生入学考试 高等代数试卷高等代数试卷 专业：基础数学，应用数学；研究方向：各方向。专业：基础数学，应用数学；研究方向：各方向。 一、 （12 分）设 p(x)为数域 F 上的次数大于 0 的多项式，证明：如果p(x)对任意多项式 f(x), 都有 p(x)|f(x)或(p(x),f(x))=1，则 p(x)必为 F 上的不可约多项式。 0 0 0  二、 （16 分）设 V 是数域 F 上全体三阶矩阵所作成的线性空间，A   001  ，令 0 00  W {BV,| AB  0} （1）证明 W 是 V 的一个子空间； （2）求 W； （3）求 W 的维数和一组基。 三、 （14 分）设 V 是数域 F 上全体 n 阶方阵所作成的线性空间,C 为 V 中一个矩阵，定义 V 的变换:(A)  CA AC，证明： （1）是 V 的一个线性变换； （2）对 V 中任意的 A，B，都有(AB) (A)B A(B)。 a 2 0   四、 （12 分）设矩阵A   b12的三个特征值为4,1,2，求a,b,c。  c20   五、 （12 分）设1,2, , n 是线性无关的 n 元向量，P 为 n 阶方阵，试给出向量组 P 1,P2 ,,P n 线性无关的充要条件，并证明你的结论。 1 六、 （12 分）设 A，B 都是 n 阶实对称矩阵，证明：存在正交矩阵P，使得P AP  B的充 要条件是 A 与 B 有相同的特征多项式。 七、 （12 分）线性变换称为幂等的，如果 。设与 都是空间 V 的幂等变换，证 明是幂等变换的充要条件是。 八、 （10 分）设 V 是复数域上的有限维线性空间，是 V 的线性变换，如果对 V 的任意 U （即(U) U） ，存在V 的   子空间 W，满足V U W，则称是完全可约的。证明 2  是完全可约的当且仅当V 有由特征向量组成的基。 word 20032003 年首都师师范大学硕士研究生入学考试年首都师师范大学硕士研究生入学考试 高等代数试卷高等代数试卷 专业：基础数学，应用数学；研究方向：各方向。专业：基础数学，应用数学；研究方向：各方向。 一、 （20 分）用( f (x),g(x))表示数域 F 上多项式 f(x)和 g(x)的首项系数为 1 的最大公因式。 证明：( f (x),g(x))  ( f (x)2g(x), f (x) g(x))。 二、 （20 分）叙述实系数多项式的因式分解定理，并将多项式x1在实数域上分解为不可 约多项式的乘积。 三、 （20 分）设 F 为数域，已知矩阵AF 证明矩阵CF 阵BFnn nn 10 ，的列向量是一齐次线性方程组的基础解系， nn的列向量也是该齐次线性方程组的基础解系的充要条件为：存在可逆矩 ，使C  AB。 四、 （20 分）设是数域 F 上 n 维线性空间 V 的线性变换，与分别是的属于特征值  1与2 的特征向量，而且 1  2 ，试证： 1、,线性无关； 2、不可能是的特征向量。 五、 （20 分）设数域 F 上 n 维线性空间V W 1 W 2 ，则任一xV可表示为x  x 1  x 2 ， 其中xiW i (i 1,2)，我们把变换(x): x  x 1 称为在W 1 上的投影变换，试证： 1、投影变换也是线性变换； 2、V 的线性变换是投影变换的充要条件是在 V 的任何基下的矩阵A 满足A  A. 六、 （20 分）设f (x)  xna n1x n1 是f (x)的一复数根， 1、证明：F[]{g()| g(x)F[x]}是 F 上 n 维线性空间，且1,, 2、 定义F[]的线性变换  : 2 a 1xa0 F[x]是数域 F 上的不可约多项式， ,n1是一基； 求  在上述基下对应的矩阵A n ， 并求行列式| A n |。， 七、 （15 分）设 A 与 B 是两个 n 阶实对称矩阵，且 A 是正定矩阵，试证，存在一个 n 阶实 BT都是对角矩阵。 可逆矩阵 T，使TAT及T 八、 （15 分）设1,2, word , r 与1,2, , s 是线性空间 V 的两组向量，且1,2, , r 线 性无关， i   a ij j1