17导数题型根的个数问题

导数题型--根的个数问题 题型一：原函数根的个数问题题型一：原函数根的个数问题 第一步：画出 “趋势图” ，如画出三次函数的大致趋势“是先增后减再增”还是“先减后增再减” ； 第二步：由趋势图结合交点个数或根的个数写不等式（组） ；主要看极大值和极小值与 0 的关系； 第三步：解不等式（组）即可； 例例 1 1、已知函数、已知函数f (x)  11 3 (k 1) 2x x ，，g(x)   kx，且 ，且f (x)在区间在区间(2,)上为增函数．上为增函数． 332 （1）求实数k的取值范围； （2）若函数 f (x)与g(x)的图象有三个不同的交点，求实数k的取值范围． 2 解： （1）由题意 f (x)x (k1)x ∵f (x)在区间(2,)上为增函数， 2 ∴ f ( x) x (k 1)x 0在区间(2,)上恒成立（分离变量法） 即k 1 x恒成立，又x  2，∴k 1 2，故k 1∴k的取值范围为k 1 x3(k 1) 2 1 x  kx  ， （2）设h(x)  f (x)  g(x)  323 h(x)  x2 (k 1)x  k  (x  k)(x 1) 令h(x)  0得x  k或x 1由（1）知k ①当k ②当k 1， 1时， h( x)(x 1)20，h(x)在 R 上递增，显然不合题意… 1时，h(x)，h(x)随x的变化情况如下表： x (,k) k (k,1) 1 — ↘ (1,) h(x)  h(x) ↗ 0 极大值 0 极小值  ↗ k3k21  623 由于 k 1 2 k 1 0，欲使f (x)与g(x)的图象有三个不同的交点，即方程h(x)  0有三个不同的实根，故需 2 k 1 k3k21  0，即(k 1)(k22k 2)0 ∴ 2 ，解得k 1 3 623 k  2k  2  0 1 综上，所求k的取值范围为k 1 例例 2 2、已知函数、已知函数f (x)  ax  3 3 1 2x 2xc 2 （1）若x  1是f (x)的极值点且 f (x)的图像过原点，求f (x)的极值； （2）若g(x)  1 2bx  xd ，在（1）的条件下，是否存在实数b，使得函数g(x)的图像与函数f (x)的图 2 像恒有含x  1的三个不同交点？若存在，求出实数b的取值范围；否则说明理由。 根的个数知道，部分根可求或已知。 解： （1）∵ f (x)的图像过原点，则f (0)  0  c  0 f (x)  3ax  x2， 2 又∵ x  1是f (x)的极值点，则f (1) 3a 12  0  a  1  f (x)  3x2 x2  (3x2)(x1) 0 f(x) -1-1 f 极大值 (x)  f (1) 2 3 3222 f 极小值 (x)  f ( )   237 （2）设函数g(x)的图像与函数 f (x)的图像恒存在含x  1的三个不同交点， 等价于 f (x)  g(x)有含x  1的三个根，即：f (1) g(1) d   1 (b1) 2 1 2 11 x 2x bx2 x(b1)整理得： 222 11 32 即：x (b1)x  x(b1) 0恒有含x  1的三个不等实根 22 11 h(x)  x3(b1)x2 x(b1) 0有含x  1的根， 22 x3 则h(x)必可分解为(x1)(二次式)  0，故用添项配凑法因式分解， 111 1  x3x2 x2(b1)x2 x(b1) 0 x2(x1)  (b1)x2 x(b1) 0 222 2 可得： 11 22 十字相乘法分解：x2(x1)(b1)x 2x(b1)  0 x (x1) (b1)x(b1)x1 0  22 11 (x1)x2(b1)x(b1) 0 22  即 11 x3(b1)x2 x(b1) 0恒有含x  1的三个不等实根 22 2 等价于x  2 11 (b1)x(b1) 0有两个不等于-1 的不等实根。 22 11 2 (b1) 4(b1) 0  42  b(,1)(1,3)(3,) 11 (1)2 (b1)(b1) 0  22 题型二：切线条数问题题型二：切线条数问题以切点以切点x 0 为未知数的方程的根的个数为未知数的方程的根的个数 例例 1 1、已知函数、已知函数f (x)  ax bx cx在点 在点x0处取得极小值－处取得极小值－4 4，使其导数，使其导数f (x)  0的的x的取值范围为的取值范围为(1,3)，， 求： （1） f (x)的解析式； （2）若过点P(1,m)可作曲线y  f (x)的三条切线，求实数m的取值范围． 解： （1）f (x)  3ax 2bxc  3a(x1)(x3),(a  0) ∴在(,1)上 f (x)  0；在(1,3)上f (x)  0；在(3,)上f (x)  0 因此 f (x)在x01处取得极小值4 ∴abc  4①， f (1) 3a  2bc  0②，f (3) 27a 6bc  0③ 2 32 a  1  32 由①②③联立得：b  6，∴f (x)  x 6x 9x c  9  （2）设切点 Q(t, f (t))，y  f (t)  f (t)(xt) , y  (3t212t 9)(xt)(t36t29t)  (3t212t 9)xt(3t212t 9)t(t26t 9)  (3t212t 9)xt(2t26t)过(1,m) m  (3t212t 9)(1)2t36t2 g(t)  2t32t212t 9m  0 令g (t)  6t 6t 12  6(t t 2)  0， 求得：t  1,t  2， 22 3 方程g(t)  0有三个根。需： g(1) 0 g(2)  0 m 16 23129m  0  m  11 1612249m  0 故：11 m16；因此所求实数m的范围为：(11,16) 题型三：极值点个数问题题型三：极值点个数问题--------导函数导函数=0=0 根的个数根的个数 解法：根分布或判别式法 例例1 1 解： 函 数 17 的定义域为R R（Ⅰ）当 m＝4 时，f(x)＝x3－x2＋10 x， 32 f (x)＝x2－7x＋10，令 f (x)  0 ，