1985年全国统一高考数学试卷理科

1985 年全国统一高考数学试卷（理科) 一、选择题(共 5 小题，每小题 3 分，满分 15 分) 1．(3 分)如果正方体 AＢCD﹣A′B′C′D′的棱长为 a，那么四面体Ａ′﹣ＡBD 的体积是(） A.B．C．D． ２.(３分)的（） A． 必要条件B. 充分条件 C. 充分必要条件D． 既不充分又不 必要的条件 3.(3 分） 在下面给出的函数中,哪一个函数既是区间 （） A． y=x2(x∈Ｒ)B． y＝|ｓinx| （x∈R） C. y=cｏ s2x(x∈R) 上的增函数又是以 π 为周期的偶函数？ D. ｙ=esin2x（x∈ Ｒ） 4．(3 分）极坐标方程 ρ=ａsiｎθ(a＞０)的图象是() Ａ.B.C．D． 5.(3 分)用 1，2，3，４,5 这五个数字,可以组成比２0000 大,并且百位数不是数字 3 的没有重复数字的 五位数，共有（) Ａ 96 个B. 78 个C. 7２个D． ６4 个 ． 二、解答题(共１３小题,满分 9０分) 6.（4 分）求方程解集. 7．(4 分）设|a|≤1,求 arccosa+ａrｃcos(﹣a)的值. ８．(4 分）求曲线 y2=﹣16x+64 的焦点. ４３9．(４分)设（３x﹣1）6=a6x6+ａ ５x 5＋a4x +a3ｘ +ａ2ｘ2+a1x+a ０，求 a６＋a5+a４+a３＋a２+a1+a0 的值. 1０.（４分)设函数 f(ｘ）的定义域是[0,1],求函数 f(x2)的定义域. １1． （７分)解方程 log4（3﹣ｘ）+log0.25（3+ｘ)=ｌｏg4（1﹣x)＋log0.25（２x+1)． 12.(7 分)解不等式 1３.（15 分)如图，设平面 AＣ和 BD 相交于 BC，它们所成的一个二面角为 4５°，P 为平面 AC 内的 一点，Q 为面 BＤ内的一点，已知直线 MQ 是直线 PＱ在平面 BD 内的射影,并且 M 在ＢC 上又设 P Ｑ与平面 BＤ所成的角为 β，∠CＭＱ=θ（0°＜θ＜90°)，线段ＰＭ的长为 a,求线段 PQ 的长． 14.(15 分)设 O 为复平面的原点,Ｚ1和 Z ２为复平面内的两动点，并且满足： (1)Z1和 Z ２所对应的复数的辐角分别为定值 θ 和﹣θ ； （2)△ ＯZ １Z2 的面积为定值Ｓ求△ ＯZ1Z ２的重心 Z 所对应的复数的模的最小值. １5.（15 分）已知两点P(﹣2,2） ，Q（0,2)以及一条直线：L：ｙ=x,设长为的线段 AB 在直线Ｌ上移动, 如图,求直线 PＡ和 QＢ的交点 M 的轨迹方程.（要求把结果写成普通方程） １６.(14 分)设， （１)证明不等式对所有的正整数 n 都成立； （２）设，用定义证明 17.(１2 分)设ａ，b 是两个实数， A=｛(x,y）|ｘ=ｎ，y=na+b，ｎ是整数｝ ， B={(x，y)|ｘ=m,y=3m2＋15,ｍ是整数｝, C=｛ （x,y)|x2+ｙ2≤1４4}， 是平面 XOＹ内的点集合，讨论是否存在ａ和 b 使得 （1）A∩Ｂ≠φ（φ 表示空集)， （2） （a，b)∈C 同时成立． 18.已知曲线ｙ=ｘ3﹣６x２+11x﹣6.在它对应于 x∈[0,2］ 的弧段上求一点Ｐ,使得曲线在该点的切线在 y 轴上的截距为最小,并求出这个最小值. 1985 年全国统一高考数学试卷(理科) 参考答案与试题解析 一、选择题(共 5 小题，每小题 3 分，满分１5 分) 1．(３分）如果正方体ＡBCＤ﹣A′B′C′D′的棱长为ａ，那么四面体 A′﹣ＡBＤ的体积是( A.B.Ｃ.D． 考点:棱柱、棱锥、棱台的体积. 专题:计算题． 分析:画出图形,直接求解即可. 解答:解:如图四面体Ａ′﹣ABD 的体积是 V= 故选 D． 点评：本题考查棱锥的体积，是基础题. 2．(３分）的（） A. 必要条件B． 充分条件 C． 充分必要条件Ｄ.既不充分又不 必要的条件 考点:必要条件、充分条件与充要条件的判断. 专题：计算题. 分析：先解出 taｎｘ=1 的解，再判断两命题的关系． 解答：解: 由ｔanx=1 ) 得， ,当 k=１时,ｘ＝ 固由前者可以推出后者， 所以 tanx=1 是 点评： 的必要条件. 故选 A． 此题要注意必要条件，充分条件的判断，掌握正切函数的基本性质,比较简单. 上的增函数又是以 π 为周期的偶函３．(3 分)在下面给出的函数中，哪一个函数既是区间 数？（） Ａ.ｙ=x２（x∈Ｒ） Ｂ.y=|ｓiｎx|C． y＝cos2x(x∈ D. ｙ=esin2ｘ （x∈R）Ｒ）（x∈R) 考点:三角函数的周期性及其求法． 专题：压轴题． 分析：根据函数的周期性和三角函数的单调性对选项逐一验证即可． 解答:解:y＝ｘ２(x∈R)不是周期函数，故排除Ａ． ∵ｙ=｜ｓinx|（ｘ∈R）周期为 π，且根据正弦图象知在区间上是增函数. 故选 B. 点评：本题主要考查三角函数的最小正周期和三角函数的图象. 4． （3 分)极坐标方程 ρ=asｉnθ(a0)的图象是() A.B．C．D． 考点： 专题: 分析: 解答: 简单曲线的极坐标方程. 计算题;压轴题. 先将原极坐标方程两边同乘以 ρ 后化成直角坐标方程,再利用直角坐标方程进行判断. 解:∵极坐标方程 ρ=asinθ（a＞0） ∴ρ2＝aρsinθ， ∴x2＋y2＝ay，它表示圆心在（0, )的圆． 点评: 故选 C． 本题考查点的极坐标和直角坐标的互化，能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置,体会在极坐 标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别， 能进行极坐标和直角坐标的互化． 利用直角坐 标与极坐标间的关系，即利用 ρｃoｓθ=x,ρｓｉnθ=y，ρ2＝x2+y2,进行代换即得. ５．(3 分)用 1,２，3,4,５这五个数字,可以组成比 200０0 大,并且百位数不是数字 3 的没有重复数字的 五位数,共有（） A. 96 个B. 78 个C. 7２个D. 64 个 考点:排列、组合的实际应用． 专题:计算题；压轴题;分类讨论． 分析：根据题意,分析首位数字,要求这个五位数比 200０0 大,则首位必须是 2，3,４,５这 4 个数字,由 于百位数不是数字 3，分 2 种情况讨论,①百位是 3,②百位是２,4，5，分别求得其情况数目,由 乘法原理,计算可得答案. 解答：解：根据题意，要求这个五位数比２0０00 大,则首位必须是 2,３,4,5 这４个数字, 分 2 种情况讨论, 当首位是 3 时,百位数不是数字 3,有Ａ44=24 种情况, 当首位是２，４，5 时，由于百位数不能是数字 3，有 3(A4４﹣A3３)=５4 种情况， 综合可得，共有 54+24=78 个数字符合要求, 故选 B. 点评:本题考查排列、组合的应用，注意结合题意，进行分类讨论,特别是“百位数不是数字 3”的要求. 二、解答题（共 1３小题,满分９0 分) ６.（4 分)求方程 考点: 专题： 分析： 解答： 解集. 任意角的三角函数的定义． 计算题． 直接化简方程，利用正弦函数的定义，求出方程的解. 解：方程 所以 方程解集为: 化为: 点评:本题考查任意角的三角函数的定义，考查计算能力,是