12021年全国高中数学联赛模拟卷六一试二试,附详

20212021 年全国高中数学联赛模拟卷年全国高中数学联赛模拟卷( (六六) )第一试第一试 ( (考试时刻：考试时刻：8080 分钟分钟总分值：总分值：120120 分分) ) 姓名：姓名：__________________________考试号：考试号：____________________________得分：得分：________________________ 一、填空题 一、设f x 答案：1． 解：注意a  0，当t0, 2a时，有t a  a，而2011  2 10 x102201122010222，那么f2011 ．   11 10  2110 222011， 因此20111022011 22011,2011102201122010 22010，……， 2011102201122010222  2，又因f2011奇数，故f20111． 二、x, y为实数，假设关于知足coscos 0的任何实数,，都成立等式：   sin sin    66   xcot y，则x, y ． coscos2  31 答案：  2 , 2   ．  解：条件coscos 0中包括sin  2  0，故所涉各式皆成心义；于所给等式中，取   2 ,  6 ，得1 3 x y；再取   2 ,  6 ，得1  3 x y， 3 由此解得，x   31 , y  ． 22 2 3、 二次函数y  ax bxc的图像通过点A(3,6)和B 的距离知足CD  1 , 6， 假设其与X轴的两个交点C,D 2  1 ，那么函数的具体表达式为y ． 2 2 答案：y  2x 5x3． 1 2 解：由条件得y6  a(x3)(x )，于是二次函数y  ax bxc又可表为 2 5a3a5163 y  ax2x6，设其两根为x 1,x2 ，有x 1  x 2  ，x 1  x 2  ，x 1x2  ， 2222a2 222 据(x 1  x 2 )  (x 1  x 2 )  4x 1x2 ，得a  2，代入得y  2x 5x3． 4、在用1,2, ,8这八个数码所组成的全数无重复数字的八位数中，能被11整除的有 个． 答案：4608. 解：由于1,2, 1,2, ,8中有4个奇数，故任意添加正负符号后其代数和皆为偶数．因 ,8中最大的四数和与最小的四数和之差不大于16，于是符合条件的每一个八位数，其奇数 数位上的四个数码和必等于偶数数位上的四个数码和，由于 12836，再将1,2,,8分成和为18的两组，每组四个数，并考虑含8的组，该组另三 数的和为10， 只有四种情形：1,2,7,8 ,1,3,6,8,1,4,5,8,2,3,5,8.关于每种情形， 可将含8 的组排在奇数数位上或偶数数位上，取得24!4!个数， 四种情形下共得84!4! 4608个符合条件的八位数． 五、设数集M a,b,c,d，而a,b,c,d两两之和组成集合S 5,8,9,11,12,15，那么集合 M  ． 答案：1,4,7,8或2,3,6,9． 解：设a b  c  d，由于集S中有6  C4个元，即知a,b,c,d两两的和互不相同， 因ab  ac  ad bd  cd，且ac bc bd，只有两种情形： 2 1．ad bc ，那么 (ab,ac,ad,bc,bd,cd) 5,8,9,11,12,15，由 cb  3, bc 11，得b  4, c  7，进而得a 1, d 8，a,b,c,d1,4,7,8； 2．bc  ad ，那么 (ab,ac,bc,ad,bd,cd) 5,8,9,11,12,15，于是 cb  3, bc  9，得b  3, c  6，进而得a  2, d  9，a,b,c,d2,3,6,9． 六、将正五角星的五个“角” （等腰的小三角形）别离沿其底边折起，使其与原所在平面成直二面 角，那么所形成的空间图形中，共有异面直线段对． 答案：50． A A4 4 解：五角星的外围是由10条线段组成的封锁折线，将其按红、蓝 距离染色， （内圈的小正五边形不染色） ，那么在这10条线段中， B B2 2 B B1 1 任一对同色的线异面，而任一对异色的线共面，于是取得 2C 5 2 20对异面直线段； 又每条有色线段恰与底面小正五边形的 三条边异面，这种情形共有30对；因此总共有50个“异面直线 段对”． 7、 关于给定的正整数n， 那么由直线y  n与抛物线y  x所围 成的封锁区域内（包括边界）的整点个数是． 答案： 22 A A5 5A A3 3 B B3 3 B B4 4 B B5 5 A A1 1 A A2 2 1 2n12n2n3． 3 22 解： 如图， 直线y  n与抛物线y  x的交点A、设直线x  kBn,n2，B的坐标为An,n2， 上位于区域内的线段的线段为CD，其坐标为C k, n  2, Dk, k ，线段CD 上的整点数为 2 Y Y L Lk k n2k21, kn, n kn ,1,0,1,2,, n，故区域内的整点数为 n k1 n2 k212n1n212k2 1 2n12n2 n3． B B 3 C C A A 8．假设四面体的六条棱长别离为2,3,4,5,6,7，那么不同的形状有种． （假设两个四面体经适当放置后可完全重合，那么以为是相同的形状）. 答案：10种． O O 解：将长为k的线段记为lk, k2,3,4,5,6,7 ，考虑l 2 , l 3 ： 情形甲：l2, l3共面，那么该面的另一边必为l4 4 D D D D k kx x C C 2 B BA A3  1  .若l ,l ,l 按顺时针方向组成三角形（如图，均指从形内向该面看 0 234 三边的绕向，下同） ，那么边DA不能取l6 （不然将使BCD的三边为2,5,7，矛盾） ． 假设取DA  l5，DB,DCl 6 ,l 7，有两种情形；假设取 DA  l 7 ，DB,DCl 5 ,l 6，也 有两种情形．共得4种情形． 2 .l ,l ,l按反时针方向组成三角形，类似也得4种情形． 0 234 情形乙：l2, l3异面，设AB  l2, CD  l3，那么其余四条边，每一条皆与l2,l3相邻；于是l2,l7所 在面的另一条边必为l6，  3  .若l ,l ,l 0 26 D D 3 6 7 A A 2B B C C 7 按顺时针方向组成三角形