高斯小学奥数六年级上册含答案第09讲几何综合

第九讲 几何综合问题 这一讲我们学习几何综合题，题型是复杂而巧妙的．这种问题往往需要 我们有点武侠小说中“借力打力”的能力，不要硬碰硬，而是借巧劲．比如 已知一个面积为 2 的正方形，求边长为其两倍的正方形的面积．把边长具体 数值求出来，用边长的关系来计算面积的想法是不可行的．而且事实上也是 没必要的，我们可以把面积为 2 的正方形边长设为a，它的两倍为2a，则 a2 2，以2a为边长的正方形面积为2a2a 4a2428．我们再来看 几个用类似想法解决的问题． 本讲知识点汇总： 一、 巧用面积公式，利用图形面积之间的和差关系来求解图形面积． 1. 圆与直角三角形中利用勾股定理． 2. 同 底 三 角 形 利 用 “公共底高的和2” 求 面 积 和 ， “公共底高的差2”求面积差． 3. 不去考虑每块图形的面积，而是将若干块图形放在一起，考虑其面 积之间的和差关系． 二、 辅助线与几何变换． 1. 通过割、补，将图形的变为规则图形，以便于分析． 2. 通过几何变换（翻转、对称）等，将图形变得易于求解． 三、 图形运动． 能够正确地画出简单几何图形 （如圆等）在运动过程中所扫过区域的 边界，并求解相关的长度和面积． 如图，阴影部分的面积是25 平方厘米，求圆环的面积． （取 3.14）例1． O DA C B 「分析」「分析」 阴影部分等于大等腰直角三角形减去小等腰直角三角形， 而圆环等于大圆减去 小圆．那么阴影部分面积与圆环面积之间有什么联系呢？ 练习 1、下图中阴影部分的面积是 40 平方厘米，求圆环的面积． （π取 3.14） O 如图，在长方形 ABCD 中，AB  30厘米，BC  40厘米，P 为 BC 上一点，PQ 垂直例2． 于 AC，PR 垂直于 BD．求 PQ 与 PR 的长度之和． O R BPC Q AD 「分析」「分析」如果这道题只是要尝试出一个结果的话， 我们只要让 P 取特殊点，例如取成 B 点，所求的长度之和就是 B 点到 AC 边的距离．但 PQ 与 PR 的长度之和是否是一个固 定的值呢？ 练习 2、P 为 CD 边上一点， PQ 与 BD 垂直，如图， 在面积为 72 的正方形中， PR 与 AC 垂直．求 PQ 与 PR 的和． A O Q D P R C B 例3．如图，P 为长方形 ABCD 内的一点．三角形 PAB 的面积为 5，三角形 PBC 的面积为 13．请问：三角形 PBD 的面积是多少？ A P D B C 「分析」「分析」直接用面积公式或者比例关系来求三角形PBD 面积，显然不可行．那么还有 什么方法可以用来求三角形PBD 面积呢？ 练习 3、如图，P 为长方形 ABCD 外的一点．三角形PAB 的面积为 7，三角形 PBC 的面积为 20，三角形 PCD 的面积为 4．请问：三角形PAD 的面积是多 少？三角形 PAC 的面积又是多少？ P AD BC 中国古代的几何学 形的研究属于几何学的范畴． 古代民族都具有形的简单概念， 并往往以图画来表示， 而图形之所以成为数学对象， 便是由工具的制作与测量的要求所促成的． 规矩以作圆方， 中国古代夏禹泊水时即已有规、矩、准、绳等测量工具．《史记》 “夏本纪”记载说：夏 禹治水， “左规矩，右准绳” ． “规”是圆规， “矩”是直角尺， “准绳”则是确定铅垂方 向的器械．这些都说明了早期几何学的应用．从战国时代的著作《考工记》 中也可以看 到与手工业制作有关的实用几何知识． 战国时期墨子所写的《墨经》中，对一系列的几何概念进行抽象概括， 作出了科学 的定义． 《周髀算经》与刘徽的《海岛算经》则给出了用矩观测天地的一般方法与具体 公式．在《九章算术》及刘徽注解的《九章算术》中，除勾股定理外，还提出了若干一 般原理以解决多种问题． 例如求任意多边形面积的出入相补原理； 求多面体体积的刘徽 原理； 5 世纪祖暅提出的用以求曲形体积特别是球的体积的“幂势既同则积不容异”的 原理；以内接正多边形逼近圆周长的极限方法（割圆术）等． 如图，一个六边形的 6 个内角都是 120，其连续四边的长依次是 1 厘米、9 厘米、9例4． 厘米、5 厘米．求这个六边形的周长． 9 9 5 1 「分析」「分析」所给六边形各内角都是 120°，这使我们联想到正六边形．在求解与正六边形 有关的题目时，最常用的方法有两种：一种是“割”，一种是“补”． “割”是指把六 边形分割干个边长或面积为1 的正三角形； “补”是指在正六边形中取出三条互不相邻 的边来延长，补成一个正三角形．这两种方法对本题适用吗？ 练习 4、一个六边形的 6 个内角都是 120， 并有连续的三边长均为 6 厘米． 如 果这个六边形的周长是 32 厘米，那么该六边形最长的边有多长？ 6 6 6 如图，在四边形 ABCD 中，AB  30，AD  48，BC 14，且ABDBDC  90，例5． ADBDBC  90．请问：四边形 ABCD 的面积是多少？ B 「分析」「分析」 本题的条件让人感觉很别扭， 虽然ABDBDC  90， 但它们并不是紧挨着的； 虽然ADBDBC  90，但它们也不是紧挨着的．那究竟对这个图形做怎样的变换，才 C D A 能让那些应该紧挨着的角真正挨在一起呢？ 如图，一块半径为 2 厘米的圆板，从位置①开始，依次沿线段 AB、BC、CD 滚到位例6． BC、 CD 的长都是 20 厘米，置②． 如果 AB、那么圆板扫过区域的面积是多少平方厘米？ （π取 3.14，答案保留两位小数． ） B 120 2 D C 「分析」这道题关键是把想清楚圆板经过的区域是怎样的图形，并画出对应的轨迹图． 1 A 课堂内外 中国古代的几何学中国古代的几何学 形的研究属于几何学的范畴．古代民族都具有形的简单概念， 并往往以图画来表示，而 图形之所以成为数学对象，便是由工具的制作与测量的要求所促成的． 规矩以作圆方，中国 古代夏禹泊水时即已有规、矩、准、绳等测量工具． 《史记》 “夏本纪”记载说：夏禹治水， “左规矩，右准绳” ． “规”是圆规， “矩”是直角尺， “准绳”则是确定铅垂方向的器械．这 些都说明了早期几何学的应用．从战国时代的著作《考工记》中也可以看到与手工业制作有 关的实用几何知识． 战国时期墨子所写的《墨经》中，对一系列的几何概念进行抽象概括，作出了科学的定 义． 《周髀算经》与刘徽的《海岛算经》则给出了用矩观测天地的一般方法与具体公式．在 《九章算术》及刘徽注解的《九章算术》中，除勾股定理外，还提出了若干一般原理以解决 多种问题．例如求任意多边形面积的出入相补原理；求多面体体积的刘徽原理； 5 世纪祖暅 提出的用以求曲形体积特别是球的体积的“幂势既同则积不容异”的原理； 以内接正多边形 逼近圆周长的极限方法（割圆术）等． 作业 1.如果图 1 中的圆环面积为12.56，阴影部分的内外两侧都是正方形，那么阴影部 分的面积是多少？（π取 3.14） 图 1 A F E B D 图 2 P A D C 2.如图 2，等腰三角形ABC 中，AB  AC  5，BC