高中导数大题专题复习

高中导数大题专题复习 一、导数的基本应用 （一）研究含参数的函数的单调性、极值和最值 基本思路：定义域 →→ 疑似极值点 →→ 单调区间 →→ 极值 →→ 最值 基本方法：一般通法：利用导函数研究法 特殊方法： （1）二次函数分析法； （2）单调性定义法 第一组 【例题】 （2008 北京理 18/22）已知函数f (x)  单调区间． 2xb ，求导函数f (x)，并确定f (x)的 (x1)2 第二组 本组题旨在强化对导函数零点进行分类讨论的意识、能力和技巧 【例题】 （2009 北京文 18/22）设函数f (x)  x 3ax b(a  0). （Ⅱ）求函数f (x)的单调区间与极值点. 【例题】 （2009 天津理 20/22）已知函数f (x)  (x ax2a 3a)e (xR),其中aR . （II）当a  【例题】 （2008 福建文 21/22）已知函数f (x)  x mx nx2的图象过点(1,6)，且 函数g(x)  f (x)6x的图象关于 y 轴对称.（Ⅰ）求m、n的值及函数y  f (x)的单调区 间； （Ⅱ）若a  0，求函数y  f (x)在区间(a1,a1)内的极值. 32 22x 3 2 时，求函数f (x)的单调区间与极值. 3 【例题】 （2009 安徽文 21/21）已知函数f (x)  x (I)讨论f (x)的单调性; 2 1aln x，a＞0， x (II)设 a=3，求f (x)在区间[1，e]上值域.其中 e=2.71828…是自然对数的底数. 2 （二）利用函数的单调性、极值、最值，求参数取值范围 基本思路：定义域 →→ 单调区间、极值、最值 →→ 不等关系式 →→ 参数取值范围 基本工具：导数、含参不等式解法、均值定理等 【例题】 （2008 湖北文 17/21）已知函数f (x)  x mx m x1（m 为常数，且 m0） 有极大值 ． ．．．．9． （Ⅰ）求 m 的值； （Ⅱ）若斜率为5的直线是曲线y  f (x)的切线，求此直线方程． 【例题】 （2009 四川文 20/22）已知函数f(x)x 2bx cx2的图象在与x轴交点处的切线 方程是y5x10. （I）求函数f (x)的解析式； （II） 设函数g(x)  f (x) 32 322 1 mx， 若 ， 求实数m的取值范围以及函数g(x) ．g(x) 的极值存在 ．．．．． 3 取得极值时对应的自变量x的值. ★【例题】 （2008 全国Ⅱ文 21/22） 设aR，函数f (x)  ax 3x． （Ⅰ）若x  2是函数y  f (x)的极值点，求a的值； （Ⅱ）若函数g(x)  f (x) f (x)，x[0， 2]，在x  0处取得最大值，求a的取值范围． ★【例题】 （2009 陕西理 20/22）已知函数f (x)  ln(ax1) （Ⅱ）求f (x)的单调区间； （Ⅲ）若f (x)的最小值为 1，求 a 的取值范围. 32 1 x ,x  0，其中a  0 1 x （三）导数的几何意义 （2008 海南宁夏文 21/22）设函数f (x)  ax 方程为7x4y12  0. （Ⅰ）求y  f (x)的解析式； （Ⅱ）证明：曲线y  f (x)上任一点处的切线与直线x  0和直线y  x所围成的三角 形面积为定值，并求此定值. b ，曲线y  f (x)在点(2, f (2))处的切线 x 二、导数应用的变式与转化 （一）函数的零点存在与分布问题 问题设置：根据函数零点或方程实数根的个数求参数取值范围 基本方法：通性通法：函数最值控制法 特殊方法： （1）二次函数判别式法； （2）零点存在性定理 第一组二次函数 （1）本组题旨在加深对二次函数零点存在性与分布问题的认识； （2）本题旨在提升对函数与方程关系问题的认识水平； （3）研究二次函数零点分布问题时，除了判别式法以外，应补充极值（最值）控制法，为 三次函数零点分布研究做方法上的铺垫. 【例题】 （2009 广东文 21/21）已知二次函数y  g(x)的导函数的图像与直线y  2x平行， 且y  g(x)在x=－1 处取得最小值 m－1(m 0).设函数f (x)  g(x) x （1）若曲线y  f (x)上的点 P 到点 Q(0,2)的距离的最小值为 2,求 m 的值； （2）k(k R)如何取值时,函数y  f (x) kx存在零点,并求出零点. ．．．． 【例题】 （2009 重庆文 19/21） 已知f (x)  x bxc为偶函数， 曲线y  f (x)过点(2,5)， 2 g(x)(xa)f(x)． （Ⅰ）求曲线y  g(x)有斜率为 的切线，求实数a的取值范围； ．．．．0．．．． 【例题】 (07 广东文 21/21)已知 a 是实数， 函数fx2ax 2x3a， 如果函数y  f x在 ． 2 区间，求 a 的取值范围. ．．  1,1上有零点 ．．．． 【例题】 （2009 浙江文 21/22）已知函数f(x)x (1a)x a(a2)xb(a,bR)． （I）若函数f (x)的图象过原点，且在原点处的切线斜率是3，求a,b的值； （II）若函数f (x)在区间(1,1)上不单调，求a的取值范围． ．．． 32 第二组 三次函数 （1）本组题旨在加深对二次函数零点存在性与分布问题的认识； （2）本题旨在提升对函数与方程关系问题的认识水平； （3）本组题旨在加深对二次函数、 三次函数零点分布问题的认识， 进而深化对导数方法、 极值、最值的理解. 【例题】 （2009 陕西文 20/22）已知函数f (x)  x 3ax1,a  0 （I）求f (x)的单调区间； （II）若f (x)在x  1处取得极值，直线 y=m 与y  f (x)的图象有三个不同的交点， ．．．．．．．．．． 求 m 的取值范围. 3 【例题】 （2007 全国 II 理 22/22）已知函数 f (x)  x  x． （1）求曲线y  f (x)在点 （2）设a  0，若过点(a，b)可作曲线，M(t，f (t))处的切线方程； ．．．．y  f (x) 的三条切线 ．．．．． 证明：abf(a) 3 （二）不等式恒成立与存在解问题 问题设置：当不等关系在某个区间范围内恒成立或存在解为条件，求参数的取值范围 基本思路：转化为函数最值与参数之间的不等关系问题 基本方法：通性通法：变量分离法、变量转换、最值控制法 特殊方法：二次函数判别式法、二次函数根的分布研究 【例题】 （2009 江西文 17/22）设函数f (x)  x  3 9 2x 6xa． 2 （1）对于任意实数x，f (x)  m恒成立，求m的最大值 【例题】 （2008 安徽文 20/22）设函数f (x)  2 a 3 3 2x x (a1)x1,其中a为实数. 32 （