高中导数知识点及练习题

导数导数 一、导数的概率一、导数的概率 设函数y  f (x)在x  x 0 处附近有定义，当自变量在x  x 0 处有增量x时， 则函数Y  f (x)相应地有增量y  f (x 0  x)  f (x 0 )， 如果x 0时，y与x 的比 yy （也叫函数的平均变化率）有极限即无限趋近于某个常数，我们把 xx xx0 这个极限值叫做函数y  f (x)在x  x 0 处的导数，记作y/，即 f/(x 0 )  lim x0 f (x 0  x) f (x 0 ) x 注：1.函数应在点x 0 的附近有定义，否则导数不存在。 2.在定义导数的极限式中，x趋近于 0 可正、可负、但不为 0，而y可能 为 0。 y 3.是函数y  f (x)对自变量x在x围的平均变化率，它的几何意义是过 x 曲线y  f (x)上点（x 0 , f (x 0 )）及点(x 0  x, f (x 0  x)）的割线斜率。 4.导数f /(x 0 )  lim x0 f (x 0  x) f (x 0 ) 是函数y  f (x)在点x 0 的处瞬时变化 x 率，它反映的函数y  f (x)在点x 0 处变化的快慢程度，它的几何意义是曲 线y  f (x)上点（x 0 , f (x 0 )）处的切线的斜率。因此，如果y  f (x)在点x 0 可 导 ， 则 曲 线y  f (x)在 点 （x 0 , f (x 0 )） 处 的 切 线 方 程 为 y  f (x 0 )  f/(x 0 )(x  x 0 )。 5.导数是一个局部概念，它只与函数y  f (x)在x 0 及其附近的函数值有关， 与x无关。 x趋近于x 0 ，6.在定义式中， 设x  x 0  x， 则x  x  x 0 ， 当x趋近于 0 时， 因此，导数的定义式可写成f /(x 0 )  lim xo f (x 0  x) f (x 0 )f (x)  f (x 0 )  lim。 xx0 xx  x 0 页脚 7.若极限lim x0 f (x 0  x) f (x 0 ) 不存在，则称函数y  f (x)在点x 0 处不可导。 x 8.若f (x)在x 0 可导， 则曲线y  f (x)在点 （x 0 , f (x 0 )） 有切线存在， 反之不然。 若曲线y  f (x)在点（x 0 , f (x 0 )）有切线，函数y  f (x)在x 0 不一定可导，并 且，若函数y  f (x)在x 0 不可导，曲线在点（x 0 , f (x 0 )）也可能有切线。 一般地， x0 lim(a bx)  a，其中a,b为常数。特别地，lim a  a。 x0 如果 函数y  f (x)在开区 间(a,b)的每 点处都有 导数，此时对 于每一个 x(a,b)，都对应着一个确定的导数f /(x)，从而构成了一个新的函数f/(x)。 称这个函数f/(x)为函数y  f (x)在开区间的导函数，简称导数，也可记作y/， 即f/(x)＝y/＝lim yf (x  x)  f (x)  lim x0xx0 x xx0 函 数y  f (x)在x 0 处 的 导 数y/就 是 函 数y  f (x)在 开 区 间(a,b) xx0 即y/(x(a,b))上导数f/(x)在x 0 处的函数值， 在x 0 处的导数也记作f/(x 0 )。 ＝f/(x 0 )。 所以函数y  f (x) 注：1.如果函数y  f (x)在开区间(a,b)每一点都有导数，则称函数y  f (x)在开 区间(a,b)可导。 2.导数与导函数都称为导数，这要加以区分：求一个函数的导数，就是求导 函数；求一个函数在给定点的导数，就是求导函数值。它们之间的关系是函 数y  f (x)在点x 0 处的导数就是导函数f /(x)在点x 0 的函数值。 3. 求 导 函 数 时 ， 只 需 将 求 导 数 式 中 的x 0 换 成x就 可 ， 即f /(x)＝ x0 lim f (x  x)  f (x) x 4.由导数的定义可知，求函数y  f (x)的导数的一般方法是： （1）.求函数的改变量y  f (x  x)  f (x)。 （2）.求平均变化率 yf (x  x)  f (x) 。 xx 页脚 （3）.取极限，得导数y/＝lim 二二. .练习题练习题 （一） 、选择题 y 。 x0x 1．若函数y  f (x)在区间(a,b)可导，且x 0 (a,b)则lim h0 f (x 0 h) f (x 0 h) h 的值为（） A．f (x 0 ) B．2 f (x 0 ) C．2 f (x 0 ) D．0 2．一个物体的运动方程为s 1t  t2其中s的单位是米，t的单位是秒， 那么物体在3秒末的瞬时速度是（） A．7米/秒 B．6米/秒 C．5米/秒 D．8米/秒 3．函数yx3x的递增区间是（） A．(0,) B．(,1) C．(,) D．(1,) 4．f (x)  ax33x22,若f (1) 4,则a的值等于（） A． C． 1916 B． 33 1310 D． 33 5．函数y  f (x)在一点的导数值为0是函数y  f (x)在这点取极值的（） A．充分条件 B．必要条件 C．充要条件 D．必要非充分条件 6．函数y  x4 4x 3在区间2,3上的最小值为（） A．72 B．36 C．12 D．0 （二） 、填空题 1．若f (x)  x3, f (x 0 )  3，则x 0 的值为_________________； 2．曲线y  x3 4x在点(1,3)处的切线倾斜角为__________； 3．函数y  sin x 的导数为_________________； x 4．曲线y  ln x在点M(e,1)处的切线的斜率是_________，切线的方程为 _______________； 5．函数y  x3 x25x 5的单调递增区间是___________________________。 （三） 、解答题 1．求垂直于直线2x6y 1 0并且与曲线y  x33x25相切的直线方程。 页脚 2．求函数y  (xa)(xb)(xc)的导数。 3．求函数f (x)  x55x45x31在区间  1,4上的最大值与最小值。 4．已知函数y  ax3 bx2，当x 1时，有极大值3； （1）求a,b的值； （2）求函数y的极小值。 （一） 、选择题 1．函数yx33x29x2x2有（） A．极大值5，极小值27 B．极大值5，极小值11 C．极大值5，无极小值 D．极小值27，无极大值 2．若f (x 0 )