高中排列组合基础题含标准答案

排列、组合问题基本题型及解法 同学们在学习排列、组合的过程中，总觉得抽象，解法灵活，不容易掌握 问题又是历年高考必考的题目•本文将总结常见的类型及相应的解法 一、相邻问题“捆绑法” 将必须相邻的元素“捆绑”在一起，当作一个元素进行排列 例 1 甲、乙、丙、丁四人并排站成一排， 如果甲、乙必须站在一起，不同的排法共有几种？ 分析： 先把甲、乙当作一个人，相当于三个人全排列，有 全排列有 A；= 2 种，所以共有 6X2 = 12 种排法. 二、不相邻问题“插空法” 该问题可先把无位置要求的元素全排列，再把规定不相邻的元素插入已排列好的元素形成 的空位中 （注意两端）. 例 2 7 个同学并排站成一排，其中只有 在两端，不同的排法有多少种？ 分析：先将其余 5 个同学先全排列，排列故是 A5= 120.再把 A、B 插入五个人组成的四个 空位（不 包括两端）中，（如图 OX0X0X0X0“X”表示空位，“0”表示 5 个同学）有 A2= 2 种方法•则共有 A5A2= 440 种排法. 三、定位问题“优先法” 指定某些元素必须排（或不排）在某位置，可优先排这个元素，后排其他元素 例 3 6 个好友其中只 有一个女的，为了照像留念，若女的不站在两端，则不同的排法有 种• 分析：优先排女的（元素优先）•在中间四个位置上选一个，有 A种排法•然后将其余 5 个 A、B 是女同学，如果要求 A、B 不相邻，且不站 A3= 6 种，然后再将甲、乙二人 • •然而排列、组合 4 排在余下的 5 个位置上，有 A5种方法•则共 A4A5 = 480 种排法•还可以优先排两端（位置优先）• •如图： 四、同元问题“隔板法” 例 4 10 本完全相同的书，分给 4 个同学，每个同学至少要有一本书，共有多少种分法？ 分析：在 排列成一列的 10 本书之间，有九个空位插入三块“隔板” XX | X | XXX | XXXX 一种插法对应于一种分法，则共有C = 84 种分法• 五、先分组后排列 对于元素较多，情形较复杂的问题，可根据结果要求，先分为不同类型的几组，然后对每 一组分别 进行排列，最后求和• 例 5 由数字 0, 1 , 2, 3, 4, 5 组成无重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的 共有（ ） （A ） 210 个（B） 300 个（C） 464 个（D） 600 个 分析：由题意知，个位数字只能是0, 1, 2, 3, 4 共 5 种类型，每一种类型分别有 A5个、 9 A；A；A3 个、A；A；A3个、A；A；A3个、A；A3个，合计 300 个，所以选 B 例 6 用 0, 1 , 2, 3,…，9 这十个数字组成五位数，其中含有三个奇数数字与两个偶数数 字的五位 数有多少个 ？ 【解法 1】考虑 0 的特殊要求，如果对 0 不加限制，应有CCA CCA353 3 5 5 种，其中 0 居首位的有 3 4 4 种，故符合条件的五位数共有 C C；A C C；A：= 11040 个• 【解法 2】按元素分类：奇数字有 1, 3, 5, 7, 9;偶数字有 0, 2, 4, 6, 8. 把从五个偶数中任取两个的组合分成两类：①不含0 的；②含 0 的• CCA① 不含 0 的：由三个奇数字和两个偶数字组成的五位数有 ② 含 0 的，这时 0 只能排在除首位以外的四个数位上， 5 2 5 个； 有A4种排法，再选三个奇数数与一 C3C 个偶数数字全排放在其他数位上，共有 11040 个• CCAA 3 4 4 4 种排法• 综合①和②，由分类计数原理，符合条件的五位数共有 ：JA5 + C3C4A4A4 = 20000 大，且百位数字不是 3例 8 由数字 1, 2, 3, 4, 5 可以组成多少个无重复数字，比 的自然数？ 【解】设 A = ｛满足题设条件，且百位数字是 3 的自然数｝, B= ｛满足题设条件，且比 20000 大 的自然数｝，则原题即求 card BI euA，画韦恩图如图，阴影部分 即 B I euA，从图中看出 card BI euA card B AI B . 又 AI B? B，由性质 2,有 card B AI B card B card AI B card B 即由数字 1，2，3，4，5 组成无重复数字，且比 然数的个数，易知 card B A4A 4. 14 20000 大的自 card AI B 即由数字 1，2，3，4, 5 组成无重复数字、比 20000 大，且百位数字是 3 的自 然数的个 数，易知 card AI B A；A；， 所以 card BI euA A：A：A；A；= 78.即可组成 78 个符合已知条件的自然数 典型例题 例 1 用 0 到 9 这 10 个数字可组成多少个没有重复数字的四位偶数？ 解法 1:当个位数上排“ 0”时，千位，百位，十位上可以从余下的九个数字中任选 排列，故有A个； 当个位上在“ 2、4、6、8”中任选一个来排，则千位上从余下的八个非零数字中任选一个， 百位，十位上再从余下的八个数字中任选两个来排，按乘法原理有 没有重复数字的四位偶数有 3 个来 A A8A2(个) 4 AgA1 A8 AS 504 1792 2296个. 例 2 排一张有 5 个歌唱节目和 4 个舞蹈节目的演出节目单。 (1) 任何两个舞蹈节目不相邻的排法有多少种？ (2) 歌唱节目与舞蹈节目间隔排列的方法有多少种？ 5 解：(1 )先排歌唱节目有 A5种，歌唱节目之间以及两端共有 蹈节目，共有 A 中方法，所以任两个舞蹈节目不相邻排法有： (2) 法，在舞蹈节目之间以及两端共有 唱节目放入。所以歌唱节目与舞蹈节目间隔排列的排法有： 6 个位子，从中选 4 个放入舞 A A4= 43200. 先排舞蹈节目有 A：中方 5 个空位，恰好供 5 个歌 A： A = 2880 种方法。 例 3 某一天的课程表要排入政治、语文、数学、物理、体育、美术共六节课，如果第一节不排 体育，最后 一节不排数学，那么共有多少种不同的排课程表的方法. 分析与解法 1： 6 六门课总的排法是 A 6，其中不符合要求的可分 为：体育排在第一书有 A55种排法，如图中I; 数学排在最后一节有 A 种排法，如图中n；但这两种排法，都包括体育排在第一书数学排在最后一节，如图中川，这 种情况有A：种排法，因此符合条件的排法应是: A 2A5A4504(种). 例 4 现有3辆公交车、3位司机和3位售票员，每辆车上需配 1 位司机和1位售票员.问车辆、 司机、 售票员搭配方案一共有多少种？ 分析：可以把3辆车看成排了顺序的三个空：________ ，然后把3名司机和3名售票员分别填 入因此可认为事件分两步完成，每一步都是一个排列问题. 解：分两步完成.第一步，把3名司机安排到3辆车中，有A 6种安排方法；第二步把3 名售票员安排到3辆车中，有 A 6 种安排方法故搭配方案共有 A A 36 种. 例 5 下表是高考第一批录取的一份志愿表. 填表方法？ 学 1 2 3 校 1 1 1 如果有4所重点院校，每所院校有3个专业是你较 为满意的选择若表格填满且规定学校没有重复，同