高中数学知识点基本概念

-- 高一数学必修 1 知识网络 集合 一般地，把一些能够确定的不同的对象看成一个整体，就说这个整体是由这 些对象的全体构成的 集合（或集），构成集合的每个对象叫做这个集合的 成员）。 一般地，我们把不含任何元素的集合叫做空集，记作 Φ 。 元素（或 一般地，如果集合 A 中的任意一个元素都是集合 B 的元素，那么集合 A 叫做集合 B 的子集，记作 A B 或 B A ，读作“ A 包含于 B”，或“ B 包含于 A ”。 如果集合 A 是集合 B 的子集，并且 B 中至少有一个元素不属于 A ，那么集合 A 叫做集合 B 的真子集， 记作 A B 或 B A ，读作“ A 真包含于 B”，或“ B 真包 含 A”。 一般地，如果集合 A 的每一个元素都是集合 B 的元素，反过来，集合 B 的每一个元素也都是集合 A 的元 素，那么我们就说 集合 A 等于集合 B，记作 A=B 。 一般地，对于两个给定的集合A，B，由属于 A 又属于 B 的所有元素构成的 集合，叫做 A ，B 的交集，记作 AB ，读作“ A 交 B”。 一般地，对于两个给定的集合A，B，由两个集合的所有元素构成的集合，叫 做 A 与 B 的并集，记作 AB，读作“ A 并 B”。 如果给定集合 A 是全集 U 的一个子集，由 U 中不属于 A 的所有元素构成的集合，叫做 A 在 U 中补 集，记作 CuA ，读作“ A 在 U 中的补集”。 -- -- （1）元素与集合的关系：属于（）和不属于（） （2）集合中元素的特性：确定性、互异性、无序性 集合与元素 （3）集合的分类：按集合中元素的个数多少分为：有限集、无限集、空集 （4）集合的表示方法：列举法、描述法（自然语言描述、特征性质描述）、图示法、区间法 1．对于集合，一定要抓住集合的代表元素，及元素的―确定性、互异性、无序性‖。 x |lg，By |lg， C(x, y)lg，A、B、C 中元素各表示什么？如：集A 合 yxyx| yx 2进行集合的交、并、补运算时，不要忘记集合本身和空集的特殊情况。 注重借助于数轴和文氏图解集合问题。空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。 2 A ， 则 实 数 a 的 值 构 成 的 集 合 x| x 2 x 3 0， Bx| a x 1， 若 B 为如：集合 A 1 答： 1，0， w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 3 3．注意下列性质： ，则，即 是 的子集。子集：若 xAx B A BAB 、若集合 中有 个元素，则集合的子集有n个。个，真子集有n 1A 2(2 -1)An 、任何一个集合是它本身的子集，即 2AA注 、对于集合关系如果，且那么 3 A,B,C,A B BC,A C. 、空集是任何集合的（真）子集。 4 且（即至少存在但），则 是 的真子集。真子集：若 ABAB x 0 B x 0 AA B集合 集合相等：且 AB A BAB x /且定义： ABx A xB集合与集合 交集 ，，，性质：， AAAAABBAABA,ABBAB ABA x / 或定义： ABx A xB 并集 ，，，性质：，， AAAAAABBAABAABBAB ABB运算 Card( A B)Card (B) - Card( A)Card( AB) x / 定义：C U A xU 且 xAA ，，补集 性质：，， (C U A)A (C U A) AUC U (C U A) AC U(A B) (C U A) (C U B) C U ( A B) (C U A) (C U B) -- -- （1）集合 a 1， a2， ，a n 的所有子集的个数是 2 （2）若 ABABA，ABB； n 4．你会用补集思想解决问题吗？（排除法、间接法） ax5 如：已知关于x 的不等式的解集为M，若 30 x 2a a 的取值范 M且 5M ，求实数围。 -- -- · a 3 5 0∵3M ，∴2 3a · ∵5M ，∴ 25 函数 a 5 5 ， 1 3 a ， 9 25 50 a 函数是一种关系， 在一个变化过程中，有两个变量 x 和 y，如果给定了一个 x 值，相应地就确定唯一的一 个 y 值，那么我们称 y 是 x 的函数，其中 x 是自变量， y 是因变量。 定义 设 A，B 是两个非空集合，如果按照某种对应法则f ，对 A 中的任意一 个元素 x，在 B 中有且仅有一个（唯一确定）元素 y 与 x 对应，则称 f 是集合 A 到集合 B 的映射 。这时， 称 y 是 x 在映射 f 的作用下的象， 记作 f(x) 。于是 y=f(x) ， x 称作 y 的原象。映射 f 也可记为： f： A→B， x→f(x). 其中 A 叫做映射 f 的定义域（函数定义域的推广），由所有象 f(x) 构成的集合叫做映射 f 的值域，通常叫作 f(A) 。 注意： 1.“y=f(x) ”是函数符号，可以用任意的字母表示，如“ y=g(x) ”； 2. 函数符号“ y=f(x) ”中的 f(x) 表示 x 对应的函数值，一个数，而不是f 乘 x。 3.集合 A 和 B 是有先后顺序的，A 到 B 的映射与 B 到 A 的映射是截然不同的，其中 f 表示具体的对 应法则，可以用多种形式表示。 4.“有且仅有一个（唯一确定）”意思是：一是必有一个，二是只有一个，也就是说有且只有一个的 意思。 构成函数的三要素是：定义域、对应关系和值域。 构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域。由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以， 如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数相等（或为同一函数）。 -- -- 两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数值的字母无关。 区间的概念 区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间无穷区间 区间的数轴表示 如果映射 f 是集合 A 到集合 B 的映射，并且对于集合B 中的任意一个元素， 一一对应在集合 A 中有且只有一个原象，这时我们说这两个集合的元素之间存在 关系，并把这个映射叫做从集合A 到集合 B 的一一映射 。 在函数的定义域内，对于自变量 x 的不同取值区间，有着不同的对应法则，这样的函数通常叫作 分段 函数 。 函数的单调性 定义：对于函数f(x) 的定义域 I 内某个区间上的任意两个自变量的值 x 1,x2, （ 1）若当 x 10）． 由此可得：负数没有偶次方根；0 的任何次方根都是0，记作 0 n n n n 0 ． -- -- 表 1 1 定 义 域 值 域 图 象 指数函数 yaa 0,a 1 xR y0, x对数数函数 y log a x a 0, a 1 x 0, yR 过定点 (0,1)过定点 (1,0) 性 质 减函数 (1,(0 时，时， x(,0)y)x (0,1 时， ) y, ,0 x()y(0,1) (0 时， (1, x,时，时， ) y) x(0, ) y(0,1)x(1, )y ( 减函数增函数增函数 )时， (0,1 x )y(,0) (0,时， ,0) x (1, ) y) a a b 底数越小越接近