量子力学周世勋习题解答范文

第五章习题解 5.1 如果类氢原子的核不是点电荷，而是半径为r r 0 0 、电荷均匀分布的小 球，计算这种效应对类氢原子基态能量的一级修正。 解：这种分布只对r rr r 0 0 的区域有影响，对r rr r 0 0 的区域无影响。据题意 知 U (r) U (r)H 0 其中U U 0 0 ( (r r) )是不考虑这种效应的势能分布，即 U （r） 4 0r U U ( (r r) )为考虑这种效应后的势能分布，在r rr r 0 0 区域， ze2 Ze2 U (r) 4 0r 在r rr r 0 0 区域，U U ( (r r) )可由下式得出， U (r)eEdr r Ze4 3 Ze1 rr, (rr 0 ) 34r2 4r334r 000 03 E Ze (rr 0 ) 24 0r U (r)eEdreEdr rr 0 r 0 Ze2 4 0r0 3 r 0 r Ze2 rdr 4 0 1 r 0 r2 dr Ze2Ze2Ze2 2222(rr )(3rr )(rr 0 ) 00 334 0r0 8 0r0 8 0r0 Ze2Ze2 22(3r 0 r )(rr 0 ) 34 0 rHU (r) U 0 (r)8 0 r 0 0(rr 0 ) 2 (0)H由于r r 0 0 很小，所以H 2U 0 (r)，可视为一种微扰，由它引 2 起的一级修正为（基态 1 (0) Z3 1/2a0r( 3 )e） a 0 Z * (0)dE 1 (1) 1 (0)H 1 Z3 3a 0 r 0 0 Ze2Ze2 a0 r 222[(3rr )]e4 r dr 0 34 0 r8 0 r 0 2Z r a0 2Z ∴ra 0，故 e ∴E(1) 1 1。 Z4e2 332 0a0 r 0 r 0 0 Z4e2 (3r rr )dr 3 0a0 2 0 24 r 0 0 rdr r 0 5 Z4e2Z4e2 25(r 0 )r 333 0 52 0a0 r 0 2 0a0 Z4e2 2r 3 0 10 0a0 2Z4e s 2 2r 0 35a 0 # 5.2 转动惯量为 I、电偶极矩为D D的空间转子处在均匀电场在中，如果 电场较小，用微扰法求转子基态能量的二级修正。 解：取的正方向为 Z 轴正方向建立坐标系，则转子的哈米顿算符为 21 2 L DcosHDL 2I2I (0) 1 L2,Dcos，则H取H 2I H (0)HH 视为微扰，用微扰法求得此问题。由于电场较小，又把H H ( (0 0) )的本征值为E(()) 1 (1) 2 H H 2I 本征函数为 (0)Y m ( , ) ( (0 0) )的基态能量为E（0）0，为非简并情况。根据定态非简并微扰论可知H H 0 (2)E 0 (0)(0)EE 0 *(0)(0) 0 H 0 dY*H m ( Dcos )Y 00 sin dd DY* m (cos Y 00 )sin dd DY* m H 0 2 4 Y 10 3 1 4 sin dd E # (2) 0 D D Y 3 * 0 Y 10 sin dd 3 1 2 H 0 (0)E 0 E(0) D 222I 1 23 (1) 2 1 22DI 23 的 5.3设一体系未受微扰作用时有两个能级：E 01及E02 ，现在受到微扰H H H 21 a，H 11 H 22 b；a a、、b b都是实数。用微作用，微扰矩阵元为H 12 扰公式求能量至二级修正值。 解：由微扰公式得 (1)E n H nn (2) E n m H mn 2 (0)(0)E n E m ( 1)( 1)bb得E 01 H 11 E 02 H 22 E(2) 01 m 1 H m 1 H m 2 E 01 E 0m 2 a2 E 01 E 02 a2 E 02 E 01 E(2) 02 m E 02 E 0m ∴ 能量的二级修正值为 a2 E 1 E 01 b E 01 E 02 a2 E 2 E 02 b E 02 E 01 # 5.4设在t t 0 0时，氢原子处于基态，以后受到单色光的照射而电离。设单 色光的电场可以近似地表示为sinsint t，及均为零；电离电子的波函数 近似地以平面波表示。求这单色光的最小频率和在时刻t t跃迁到电离态的几 率。 解：①当电离后的电子动能为零时，这时对应的单色光的频率最小，其 值为 e s 4 min hv min EE 1 22 e s 4 13. 6 1. 6 10 19 153. 3 10 Hzv min 2346. 62 102h ②t t0 0时，氢原子处于基态，其波函数为 1 e r/a0 k 3a 0 1 3/2 p r 在t t时刻， m ()e 2 er i t(t)ersin t(eei t)微扰H 2i (ei te i t)F er 其中F 2i 在t t时刻跃迁到电离态的几率为 i W km a m (t) 1 t ei mk tdt H mk i 0 t F mk(ei( mk )t ei( mk )t)dt i 0 F mk ei( mk )t 1ei( mk )t 1 [] mkmk 对于吸收跃迁情况，上式起主要作用的第二项，故不考虑第一项， F mk ei( mk )t 1 a m (t) mk 2 a m (t) W km a m (t) 2 2 F mk 2 2 (ei( mk )t 1)( ei( mk )t 1) 2( mk ) 4F mk sin21 2 ( mk )t 2( mk )2 1 *F k d(其中F mkm 1 2 )3/2 a3 0 e i p r er r/a0 ()ed p p z（） 2i 取电子电离后的动量方向为 Z 方向， 取、p p所在平面为xozxoz面，则有 r x x y y z z ( sin )( rsin cos ) ( cos )( rcos ) rsin sin coscos rcos x α θr r Oy F mk ( 1 2 )3/2 e p rcos e( rsin sin cosrcos cos )e r/a0d 3 2i a 0 1 i F mk ( ( 1 2 1 2 )3/2 e e 3 2i a 0 ( rsin sin cosrcos cos )e r/a0r2sin drd d i 1 00 ) 2 i p rcos 0 3/2 e 2p rcos r/a03 e( cosr cos sin )edrd d 0003 2i a 0 1 2 1 ( e cos i2 )3/2 r e p rcos e cos 3r/a02r edr[ecos sin d 003 2i a 0 1 i 2a3 0 3r/a0 0 2 p rp rp rp r [(ee) 22 (ee)] dr iprp r iiii e cos16p 3 ia i22a 0 0 1 ( 1p 3) 2a 0 2 23 2 16pe cos (a 0 )7/2 8 (a p) 2 ∴W km 4F mk sin21 2 ( mk )t ( mk )2 2 0 2 2 75