超几何分布和二项分布的区别

关于超几何分布和二项分布的小题关于超几何分布和二项分布的小题 超几何分布：在产品质量的不放回抽检中，若超几何分布：在产品质量的不放回抽检中，若 N N 件产品中有件产品中有 MM 件次品，件次品， 抽检抽检 n n 件时所得次品数件时所得次品数 X=kX=k 则则 P(X=k)P(X=k) 此时我们称随机变量此时我们称随机变量 X X 服从超几何分布（服从超几何分布（hypergeometric distributionhypergeometric distribution）） 1 1）超几何分布的模型是不放回抽样）超几何分布的模型是不放回抽样 2 2）超几何分布中的参数是）超几何分布中的参数是 M,N,nM,N,n 上述超几何分布记作上述超几何分布记作 X~H(nX~H(n，，MM，，N)N)。。 二项分布：二项分布（二项分布：二项分布（BinomialBinomial DistributionDistribution）） ，即重复，即重复 n n 次的伯努力试验次的伯努力试验 （（Bernoulli ExperimentBernoulli Experiment））, , 用用 ξξ 表示随机试验的结果表示随机试验的结果. . 如果事件发生的概率是如果事件发生的概率是 P,P,则不发生的概率则不发生的概率 q=1-pq=1-p，，N N 次独立重次独立重 复试验中发生复试验中发生k次的概率是次的概率是P( k) C n pkqnk上述二项分布记作上述二项分布记作 k ~ B(n, p) 下面我通过几个例子说明一下两者的区别下面我通过几个例子说明一下两者的区别 【例【例 1 1】某人参加一次英语考试，已知在备选题的】某人参加一次英语考试，已知在备选题的 1010 道试题中能答出其中的道试题中能答出其中的 4 4 道题，规定每次考试从备选题中随机抽取道题，规定每次考试从备选题中随机抽取 3 3 题进行测试，求答对题数题进行测试，求答对题数的分布的分布 列？列？ 解：解：由题意得由题意得 0，，1，，2，，3. .服从参数为服从参数为N 10, ,M  4, ,n  3的超几何分布的超几何分布. . C C •CC P( 2)  C P( 0) 6 3 10 2 4 3 10 3 • 201601 P(1)  C 4 3 C 6 12061202C 10 1 6 12 36341 P( 3)  C 3 4 1201012030C 10 3 故故的分布列的分布列  P 0123 1131 621030 点评：这是一道超几何分布的题目，学生在做的时候容易把它看到是二项点评：这是一道超几何分布的题目，学生在做的时候容易把它看到是二项 分布问题，把事件发生的概率看做是分布问题，把事件发生的概率看做是 0.40.4。。 【例【例 2 2】甲乙两人玩秒表游戏，按开始键，然后随机按暂停键，观察秒表最后一】甲乙两人玩秒表游戏，按开始键，然后随机按暂停键，观察秒表最后一 位数，若出现位数，若出现0，，1，，2，，3则甲赢，若最后一位出现则甲赢，若最后一位出现6，，7，，8，，9则乙赢，若则乙赢，若 最后一位出现最后一位出现4，，5是平局是平局. .玩三次，记甲赢的次数为变量玩三次，记甲赢的次数为变量X，求，求X的分布列的分布列 解：由题意得：解：由题意得：X  0，，1，，2，，3P(X  0) C 3 0.63 0.216 0 P(X 1) C 3 0.620.4  0.432P(X  2) C 3 0.60.42 0.288 P(X  3) C 3 0.43 0.064故故X的分布列的分布列 3 12 30X12 0.2160.4320.2880.064P 点评：点评： 学生这是一道二项分布的题目，学生这是一道二项分布的题目， 学生容易看成超几何分布，学生容易看成超几何分布， 认为认为X服服 从从N 10, ,M  4, ,n  3的超几何分布。的超几何分布。 【例【例 3 3】已知一批种子发芽率为】已知一批种子发芽率为 0.40.4 现在从中选取三颗进行测试，记其发芽数为现在从中选取三颗进行测试，记其发芽数为 ，求，求的分布列。的分布列。 解：由题意得解：由题意得 0，，1，，2，，3. .~ B(3.0.6)P( 0) C 3 0.63 0.216 P(1) C 3 0.410.62 0.432P( 2) C 3 0.420.6  0.288 12 0 P(1) C 3 0.43 0.064故故的分布列的分布列 3 3012 0.2160.4320.2880.064P 点评：点评： 与例与例 2 2 比较这两个题目是完全相同的。比较这两个题目是完全相同的。 二项分布应满足独立重复试验：二项分布应满足独立重复试验： ①每一次试验中只有两种结果（要么发生，要么不发生）①每一次试验中只有两种结果（要么发生，要么不发生）. . ②任何一次试验中发生的概率都一样②任何一次试验中发生的概率都一样. . ③每次试验间是相互独立的互不影响的③每次试验间是相互独立的互不影响的. . 例例 1 1 在抽取过程中可以认为是不放回的抽取，在抽取过程中可以认为是不放回的抽取， 两次抽取之间是有影响的不是两次抽取之间是有影响的不是 独立的。例独立的。例2 2、例、例3 3 在抽取过程中可以认为是有放回的抽取，两次抽取过程中是在抽取过程中可以认为是有放回的抽取，两次抽取过程中是 互不影响的。互不影响的。 【例【例 4 4】】 （（2002006 6·广东，·广东，1616）某运动员射击一次所得环数）某运动员射击一次所得环数X的分布列如下：的分布列如下： 0 ~ 689107X 0.20.30.30.20P 现进行两次射击，以该运动员两次射击中最高环数作为他的成绩，记为现进行两次射击，以该运动员两次射击中最高环数作为他的成绩，记为. . 求求的分布列？的分布列？  解：由题意得解：由题意得 0 ~ 6，，7，，8，，9，，10. . P( m)  P(一次命中m环，另一次命中的环数小于m)  P(两次命中m环）， P( 0 ~ 6)  200 00  0P( 7)  20.20 0.20.2  0.04 P( 9)  20.3 （0.2 0.3）  0.30.3  0.39 P(10)  20.3 （0.2 0.3 0.3）  0.20.2  0.36 故故的分布列为的分布列为  0 ~ 678910 0.040.210.390.360P 点评：学生容易把本题看做是超几何分布，理解成【例点评：学生容易把本题看做是超几何分布，理解成【例 5 5】】 ，本题利用课本，本题利用课本 上推到二项分布公式的原理中事件的独立性和互斥性。上推到二项分布公式的原理中事件的独立性和互斥性。 【例【例 5 5】一个袋中装有】一个袋中装有 1010 个大小相同的小球，其中标号为个大小相同的小球，其中标号