空间向量与立体几何知识点汇总
空间向量与立体几何知识点汇总空间向量与立体几何知识点汇总 知识点一知识点一空间向量及其运算空间向量及其运算 （一） 、空间向量 在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。 1. 空间的一个平移就是一个向量。 2. 向量一般用有向线段表示，同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。 相等向量只考虑其定义要素：方向，大小。 3. 空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示。 （二） 、共线向量 1.定义：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些 向量叫做共线向量或平行向量．．a平行于b记作a //b．当我们说向量a、b共线 （或a//b）时，表示a、b的有向线段所在的直线可能是同一直线，也可能是 平行直线． 2.共线向量定理：空间任意两个向量a、b（b≠0） ，a//b的充要条件是 存在实数 λ，使a＝λb。 （三） 、两个向量的数量积 1.定义： 已知向量a,b， 则| a ||b |cos a,b 叫做a,b的数量积， 记作ab， 即ab |a||b|cosa,b 。 2.空间向量数量积的性质 ①ae |a |cos a,e ；②a b ab 0；③|a |2 aa． 3.空间向量数量积运算律： ①(a)b (ab) a(b)； ②ab b a（交换律） ； ③a(b c) ab ac（分配律） 。 （四） 、空间向量基本定理 如果三个向量a,b,c不共面，那么对空间任一向量p，存在一个唯一的 有序实数组x, y,z，使p xa yb zc。若三向量a,b,c不共面，我们把{a,b,c}叫 做空间的一个基底，a,b,c叫做基向量，空间任意三个不共面的向量都可以构成 空间的一个基底。 （五） 、空间直角坐标系： 1.若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为1，这个基底叫单位正交 基底，用{i, j,k}表示。 2.在空间选定一点O和一个单位正交基底{i, j,k}，以点O为原点，分别以 i, j,k的方向为正方向建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫坐标轴．我们 称建立了一个空间直角坐标系O xyz，点O叫原点，向量i, j,k都叫坐标向 量．通过每两个坐标轴的平面叫坐标平面，分别称为xOy平面，yOz平面，zOx 平面。 （六） 、空间直角坐标系中的坐标表示 在空间直角坐标系O xyz中，对空间任一点A，存在唯一的有序实数组 (x, y,z)，使OA xi yj zk，有序实数组(x, y,z)叫作向量A在空间直角坐标系 O xyz中的坐标，记作A(x, y,z)，x叫横坐标，y叫纵坐标，z叫竖坐标． （七） 、空间向量的直角坐标运算 1.若A(x 1, y1,z1) ，B(x 2 , y 2 ,z 2 )，则AB (x 2 x 1, y2 y 1,z2 z 1) ． 一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐 标减去起点的坐标。 2.若a (a 1,a2 ,a 3 )，b (b 1,b2 ,b 3 )，则 ab (a 1 b 1,a2 b 2 ,a 3 b 3 )， ab (a 1 b 1,a2 b 2 ,a 3 b 3 )， a (a 1, a 2 ,a 3 )(R)， ab a 1b1 a 2b2 a 3b3 ， a//b a 1 b 1,a2 b 2 ,a 3 b 3 (R)， a b a 1b1 a 2b2 a 3b3 0； |a |aa a 1 2a 2 2a 3 2，|b|bb b 1 b 2 b 3 ． 夹角公式：cos ab a 1b1 a 2b2 a 3b3 ab ． 222222|a ||b |a 1 a 2 a 3 b 1 b 2 b 3 222 3.两点间的距离公式：若A(x 1, y1,z1) ，B(x 2 , y 2 ,z 2 )，则 | AB|AB (x 2 x 1) 2(y 2 y 1) 2(z 2 z 1) 2 2 或d A,B (x 2 x 1) 2(y 2 y 1) 2(z 2 z 1) 2。 知识点二知识点二立体几何中的向量方法立体几何中的向量方法 （一） 、立体几何中有关垂直和平行的一些命题，可通过向量运算来证明． 1.对于垂直问题，一般是利用a b ab 0进行证明； 2.对于平行问题，一般是利用共线向量和共面向量定理进行证明． 3.利用向量求夹角(线线夹角、线面夹角、面面夹角)有时也很方便．其一般 方法是将所求的角转化为求两个向量的夹角或其补角， 而求两个向量的夹角则可 以利用向量的夹角公式cos （二） 、平面法向量的求法 设 n n=(x,y,z)， 利用 n n 与平面内的两个不共线的向量 a a， b b 垂直， 其数量积为零， 列出两个三元一次方程， 联立后取其一组解， 即得到平面的一个法向量 （如图） 。 ab 。 |a ||b | （三） 、线线角的求法 设直线 AB、CD 对应的方向向量分别为 a a、b b，则直线 AB 与 CD 所成的角为 arccos |ab| 。 （注意：线线角的范围[00,900]） |a ||b| （四） 、线面角的求法 设 n n 是平面的法向量，AB是直线l的方向向量，则直线l与平面所成的 角为arcsin | ABn | （如图） 。 | AB||n| （五） 、二面角的求法 设 n n1 1，， n n2 2分别是二面角l 的两个面，的法 向量 ，则 n 1,n2 arccos n 1 n 2就是二面角的平面角或其补角的大小（如图） |n 1 ||n 2 | （六） 、用向量法求距离 设 n n 是平面的法向量，AB 是平面的一条斜线，则点 B 到平面的距离 为 | ABn| （如图） 。 |n| 1.点 A 到平面的距离： d ABn |n | ，其中B，n是平面的法向量。 2.直线a与平面之间的距离： d ABn |n | ，其中Aa,B，n是平面的法向量。 3.两平行平面,之间的距离： d ABn |n | ，其中A,B，n是平面的法向量。
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