空间直角坐标系_版有答案

4.34.3空间直角坐标系空间直角坐标系 4．3.1&4.3.2空间直角坐标系空间两点间的距离公式 预习课本预习课本 P134P134～～137137，，思考并完成以下问题思考并完成以下问题 1．在空间直角坐标系中怎样确定空间中任一点的坐标？ 2．空间中线段的中点坐标公式是什么？ 3．空间中两点间的距离公式是什么？ [新知初探] 1．空间直角坐标系 (1)空间直角坐标系：从空间某一定点引三条两两垂直，且有相同单位长度的数轴：x轴、y轴、z轴， 这样就建立了空间直角坐标系O xyz. (2)相关概念：点O叫做坐标原点，x轴、y轴、z轴叫做坐标轴．通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平 面，分别称为xOy平面、yOz平面、zOx平面． 2．右手直角坐标系 在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的 正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系． 3．空间一点的坐标 空间一点M的坐标可以用有序实数组(x，y，z)来表示，有序实数组(x，y，z)叫做点M在此空间直角 坐标系中的坐标，记作M(x，y，z)．其中x叫点M的横坐标，y叫点M的纵坐标，z叫点M的竖坐标． [点睛]空间直角坐标系的画法 (1)x轴与y轴成 135°(或 45°)，x轴与z轴成 135°(或 45°)． 1 (2)y轴垂直于z轴，y轴和z轴的单位长相等，x轴上的单位长则等于y轴单位长的 . 2 4．空间两点间的距离公式 (1)点P(x，y，z)到坐标原点O(0,0,0)的距离 |OP|＝x＋y＋z. (2)任意两点P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)间的距离 |P1P2|＝ 222 x 1－x2 2＋y 1－y2 2＋z 1－z2 2. [点睛](1)空间两点间的距离公式可以类比平面上两点间的距离公式，只是增加了对应的竖坐标的运 算． (2)空间中点坐标公式：设A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则AB中点P [小试身手] 1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)空间直角坐标系中，在x轴上的 点的坐标一定是(0，b，c)的形式() (2)空间直角坐标系中，在xOz平面内的点的坐标一定是(a,0，c)的形式() (3)空间直角坐标系中，点(1， 3，2)关于yOz平面的对称点为(－1， 3，2)() 答案：(1)×(2)√(3)√ 2．在空间直角坐标系中，点P(3,4,5)与Q(3，－4，－5)两点的位置关系是() A．关于x轴对称 C．关于坐标原点对称 B．关于xOy平面对称 D．以上都不对 x1＋x2，y1＋y2，z1＋z2.  222 解析：选 A点P(3,4,5)与Q(3，－4，－5)两点的横坐标相同，而纵、竖坐标互为相反数，所以两点 关于x轴对称． 3．空间两点P1(1,2,3)，P2(3,2,1)之间的距离为________． 解析：|P1P2|＝ 答案：2 2 空间中点的坐标的求法 1 [典例]在棱长为 1 的正方体ABCD A1B1C1D1中，E，F分别是D1D，BD的中点，G在棱CD上， 且CG＝CD， 4 － 2＋0 ＋2 ＝2 2.22 H为C 1G 的中点，试建立适当的坐标系，写出E，F，G，H的坐标． [解]建立如图所示的空间直角坐标系．点E在z轴上，它的x坐标、y坐标均为 0，而E为DD 1的中 1 点，故其坐标为0，0，. 2 由F作FM⊥AD，FN⊥DC，垂足分别为M，N， 11 由平面几何知识知FM＝ ，FN＝ ， 22 1 1 故F点坐标为， ，0. 22 点G在y轴上，其x，z坐标均为 0， 33 又GD＝ ，故G点坐标为0， ，0. 44 由H作HK⊥CG于K，由于H为C1G的中点． 117 故HK＝ ，CK＝ ，∴DK＝ ， 288  71 故H点坐标为0， ，. 82 (1)建立空间直角坐标系时，要考虑如何建系才能使点的坐标简单、便于计算，一般是要使尽量多的点 落在坐标轴上． (2)对于长方体或正方体，一般取相邻的三条棱所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系；确定点的 坐标时，最常用的方法就是求某些与轴平行的线段的长度，即将坐标转化为与轴平行的线段长度，同时要 注意坐标的符号，这也是求空间点坐标的关键． [活学活用] 如图，在长方体ABCD A′B′C′D′中，|AB|＝12，|AD|＝8， 个长方体的顶点A为坐标原点，射线AB，AD，AA′分别为x轴、y 轴，建立空间直角坐标系，求长方体各个顶点的坐标． 解：因为|AB|＝12，|AD|＝8，|AA′|＝5，点A为坐标原点，且点B，D，A′分 |AA′|＝5.以这 轴和z轴的正半 别在x轴、y轴和z轴上， 所以它们的坐标分别为A(0,0,0)，B(12,0,0)，D(0,8,0)，A′(0,0,5)． 点C，B′， D′分别在xOy平面、xOz平面、yOz平面内，坐标分别为C(12,8,0)，B′(12,0,5)，D′(0,8,5)．点C′ 在三条坐标轴上的射影分别是B，D，A′，故点C′的坐标为(12,8,5)． 空间两点间距离公式及应用 [典例]已知点M(3,2,1)，N(1,0,5)，求： (1)线段MN的长度； (2)到M，N两点的距离相等的点P(x，y，z)的坐标满足的条件． [解](1)根据空间两点间的距离公式得线段MN的长度|MN|＝ 2 6， 所以线段MN的长度为 2 6. (2)因为点P(x，y，z)到M，N两点的距离相等，所以有下面等式成立： － 2＋ － 2＋ － 2＝ x－ ＝ 2＋ 2 y－ ＋y－ 2＋z－ 2 2 2x－ ＋z－， 化简得x＋y－2z＋3＝0， 因此，到M，N两点的距离相等的点P(x，y，z)的坐标满足的条件是x＋y－2z＋3＝0. 利用空间两点间的距离公式求线段长度问题的一般步骤为： [活学活用] 已知直三棱柱ABC A1B1C1中， ∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA 1＝4， M为BC 1 的中点，N为A1B1的中点， 求|MN|. 解：如图，以A为原点，AB，AC，AA1分别为x轴，y轴，z轴的正 直角坐标系， 则B(4,0,0)，C1(0,4,4)，A1(0,0,4)，B1(4,0,4)． 因为M为BC 1 的中点， 所以由中点公式得M 半轴建立空间 4＋0，0＋4，0＋4， 即 M(2,2,2)， 又N为A 1B122  2 的中点，所以 N(2,0,4)． 所以由两点间的距离公式得 |MN|＝ 空间中点的对称 [典例](1)点A(1,2，－1)关于坐标平面xOy及x轴的对称点的坐标分别是________． (2)已知点P(2,3，－1)关于坐标平面xOy的对称点为P1，点P1关于坐标平面yOz的对称点为P2，点P2 关于z轴的对称点为P3，则点P3的坐标为________． [解析](1)如图所示，过A作AM⊥xOy交平面于M，并延长到C， 则A与C关于坐标平面xOy对称且C的坐标为(1,2,1)．过A作AN⊥x 长到点B， 使AN＝NB， 则A与B关于x轴对称且B的坐标为(1， －2,1)． ∴A(1,2，－1)关