选修4坐标系与参数方程

第 1 页 共 16 页 选修选修 4 4－－4 4 坐标系与参数方程坐标系与参数方程 第一节第一节 坐坐 标标 系系 本节主要包括本节主要包括 2 2 个知识点：个知识点： 1. 1.平面直角坐标系下图形的伸缩变换；平面直角坐标系下图形的伸缩变换； 2. 2.极坐标系极坐标系. . 突破点突破点( (一一) )平面直角坐标系下图形的伸缩变换平面直角坐标系下图形的伸缩变换 基础基础联通联通抓主干知识的抓主干知识的““源源””与与““流流””  x x λ λ＞＞0 0 ，，  x x′＝ ′＝λ λ· · 设点设点 P P( (x x，，y y) )是平面直角坐标系中的任意一点，是平面直角坐标系中的任意一点，在变换在变换 φ φ：： 的作用下，的作用下，  y y′＝ ′＝μ μ· ·y y μ μ＞＞0 0        点点 P P( (x x，，y y) )对应到点对应到点 P P′′( (x x′，′，y y′′) )，称，称 φ φ 为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变 换．换． 考点考点贯通贯通抓高考命题的抓高考命题的““形形””与与““神神”” 平面直角坐标系下图形的伸缩变换平面直角坐标系下图形的伸缩变换 1 1    x x′＝ ′＝2 2x x，， x x2 2 2 2 [ [典例典例] ]求椭圆求椭圆 ＋＋y y ＝＝1 1，经过伸缩变换，经过伸缩变换  4 4    y y′＝ ′＝y y 1 1      x x′ ′＝＝2 2x x，，  x x＝ ＝2 2x x′′，， [ [解解] ]由由  得到得到 ①①  y y＝ ＝y y′′. .     y y′ ′＝＝y y 后的曲线方程．后的曲线方程． 4 4x x′′2 2x x2 2 2 2将①代入将①代入＋＋y y ＝＝1 1，得，得＋＋y y′′2 2＝＝1 1，即，即 x x′′2 2＋＋y y′′2 2＝＝1. 1. 4 44 4 x x2 2 2 2因此椭圆因此椭圆＋＋y y ＝＝1 1 经伸缩变换后得到的曲线方程是经伸缩变换后得到的曲线方程是 x x2 2＋＋y y2 2＝＝1. 1. 4 4 [ [方法技巧方法技巧] ] 应用伸缩变换公式时的两个注意点应用伸缩变换公式时的两个注意点 (1)(1)曲线的伸缩变换是通过曲线上任意一点的坐标的伸缩变换实现的，曲线的伸缩变换是通过曲线上任意一点的坐标的伸缩变换实现的， 解题时一定要区分解题时一定要区分 变换前的点变换前的点P P 的坐标的坐标 ( (x x，，y y) )与变换后的点与变换后的点P P′′的坐标的坐标 ( (X X，，Y Y) )，再利用伸缩变换公式，再利用伸缩变换公式 第 2 页 共 16 页    X X＝ ＝axax a a00 ，，  建立联系．建立联系．  Y Y＝ ＝byby b b00    (2)(2)已知变换后的曲线方程已知变换后的曲线方程 f f( (x x，，y y) )＝＝0 0，一般都要改写为方程，一般都要改写为方程 f f( (X X，，Y Y) )＝＝0 0，再利用换元法，再利用换元法 确定伸缩变换公式．确定伸缩变换公式． 能力能力练通练通抓应用体验的抓应用体验的““得得””与与““失失””  x x′＝′＝3 3x x，，  1 1，－ ，－2 2 经过经过 φ φ 变变1 1．在同一平面直角坐标系中，已知伸缩变换．在同一平面直角坐标系中，已知伸缩变换 φ φ：： 求点求点 A A 3 3      2 2y y′＝ ′＝y y. . 换所得的点换所得的点 A A′的坐标．′的坐标．    x x′＝ ′＝3 3x x，， 2 2．求直线．求直线 l l：：y y＝＝6 6x x 经过经过 φ φ：： 变换后所得到的直线变换后所得到的直线 l l′的方程．′的方程．  2 2y y′＝ ′＝y y   3 3．求双曲线．求双曲线 C C：：x x2 2－－    x x′＝ ′＝3 3x x，， y y2 2 ＝＝1 1 经过经过 φ φ：： 变换后所得曲线变换后所得曲线 C C′的焦点坐标．′的焦点坐标． 6464  2 2y y′＝ ′＝y y   4 4．． 将圆将圆 b b 的值．的值． x x2 2＋＋y y2 2＝＝1 1    X X＝ ＝axax a a00 ，， x x2 2y y2 2  变换为椭圆变换为椭圆＋＋ ＝＝1 1 的一个伸缩变换公式为的一个伸缩变换公式为 φ φ：：求求 a a，， 9 94 4  Y Y＝ ＝byby b b00 ，，   突破点突破点( (二二) )极坐标系极坐标系 基础基础联通联通抓主干知识的抓主干知识的““源源””与与““流流”” 1 1．．极坐标系的概念极坐标系的概念 (1)(1)极坐标系极坐标系 如图所示，在平面内取一个定点如图所示，在平面内取一个定点 O O，点，点 O O 叫做极点，自极点叫做极点，自极点 O O 引一条射线引一条射线 OxOx，，OxOx 叫叫 做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位( (通常取弧度通常取弧度) )及其正方向及其正方向( (通常取逆时针方向通常取逆时针方向) )，， 这样就建立了一个极坐标系．这样就建立了一个极坐标系． (2)(2)极坐标极坐标 第 3 页 共 16 页 一般地，没有特殊说明时，我们认为一般地，没有特殊说明时，我们认为 ρ ρ≥≥0 0，，θ θ 可取任意实数．可取任意实数． (3)(3)点与极坐标的关系点与极坐标的关系 一般地，极坐标一般地，极坐标( (ρ ρ，，θ θ) )与与( (ρ ρ，，θ θ＋＋2 2k kπ)(π)(k k∈∈Z)Z)表示同一个点，特别地，极点表示同一个点，特别地，极点O O 的坐标为的坐标为(0(0，， θ θ)( )(θ θ∈∈R)R)，和直角坐标不同，平面内一个点的极坐标有无数种表示．，和直角坐标不同，平面内一个点的极坐标有无数种表示． 如果规定如果规定 ρ ρ＞＞0,00,0≤≤θ θ＜＜2π2π，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标( (ρ ρ，，θ θ) ) 表示；表示； 同时，极坐标同时，极坐标( (ρ ρ，，θ θ) )表示的点也是唯一确定的．表示的点也是唯一确定的． 2 2．．极坐标与直角坐标的互化极坐标与直角坐标的互化 点点 MM直角坐标直角坐标( (x x，，y y) )    x x＝ ＝ρ ρcoscos θ θ，，    y y＝ ＝ρ ρsinsin θ θ   极坐标极坐标( (ρ ρ，，θ θ) ) ρ ρ2 2＝＝x x2 2＋＋y y2 2，，       y y tantan θ θ＝＝  x x≠≠