选修3计数原理二讲义

金牌数学高二（选修金牌数学高二（选修 2 2——3 3）专题系列之）专题系列之计数原理（二）计数原理（二） 1. 1.排列排列: :从 n 个不同的元素中取出 m 个(m≤n)元素并按一定的顺序排成一列,叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的 一个排列. （1）排列数: 从 n 个不同的元素中取出 m 个(m≤n)元素的所有排列的个数.用符号A An n表示 m （2）排列数公式:An n(n 1)(n  2)(n  m 1) m m 或A An n  m m n! n n, ,m m  N N , ,m m   n n (n  m)!    n n=n n! !=n n n n 1 1   3 3 2 2 1 1=n(n-1)! 规定 0！=1 A A n n 2. 2.组合：组合：一般地，从n个不同元素中取出m m n个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m个元素的一个 组合 （1）组合数: 从n个不同元素中取出m m n个元素的所有组合的个数，用C C n n 表示 m m n! A n mn(n1)(n2)(nm1) m(n,m N,且m  n) （2）组合数公式:C  m 或C n  m!(n  m)!A m m! m n （3）组合数的性质： m0mm1mnm ①Cn．规定：Cn.1；②Cn Cn 1 ＝C n +Cn 013 ③ C n C n C n  n n 1 11 1n nn C n  2n ④C C n n   C C n n   n n ⑤C C n n  1 1 3. 3.二项式定理及其特例：二项式定理及其特例： （1）二项式定理 1 1n n 1 1k kn n k kk kn nn n  a a   b b n n   C C n n 0 0a an n C C n na a b b  C C n n a ab b   C C n n b b   n n  N N   展开式共有 n+1 项，其中各项的系数C C n n n1 （2）特例：(1 x) 1Cnx rrC n x  k k  k k    0 0, ,1 1, ,2 2, ,, ,n n  叫做二项式系数。  xn. 4. 4.二项展开式的通项公式：二项展开式的通项公式： 5 5．二项式系数的性质：．二项式系数的性质： k kn n k kk kT T  C C a ab b （为展开式的第 K +1 项） k k 1 1n n 山高人为峰，努力定成功！第1页 共 6 页 （（1 1）对称性：）对称性：在 象的对称轴．  a a   b b n n展开式中，与首末两端 “等距”的两个二项式系数相等即C n m C n nm，直线r  n 是图 2 （（2 2）增减性与最大值：）增减性与最大值：当k k 间取得最大值。   n n 1 1 时，二项式系数逐渐增大，由对称性知它的后半部分是逐渐减小的，且在中 2 2 当n是偶数时，在中间一项C取得最大值； 当n是奇数时，在中间两项C 6. 6.各二项式系数和：各二项式系数和： （1） 0122n C n C n C n  rC n  nC n n 2 n n1 2 n ，C n1 2 取得最大值． n （2）C C n n 0 02 24 41 13 35 5 C C n n  C C n n    C C n n  C C n n  C C n n    2 2n n 1 1 7. 7.各项系数之和：各项系数之和： （采用赋值法）（采用赋值法） 例：求 解： 令x x  2 2x x   3 3y y 9 9的各项系数之和  2 2x x   3 3y y 9 9   a a 0 0 x x9 9  a a 1 1 x x8 8y y   a a 2 2 x x7 7y y2 2   a a 9 9 y y9 9   1 1, , y y   1 1，则有 2 2x x   3 3y y   a a 0 0   a a 1 1   a a 2 2    a a 9 9   2 2  3 3    1 1， 9 99 9 故各项系数和为-1 题型一：选择题题型一：选择题 例例 1. 1.【2015 高考陕西，理 4】二项式(x1)n(nN  )的展开式中x2的系数为 15，则n （） A．4B．5C．6D．7 拓展变式练习拓展变式练习 1.【2015 高考新课标 1，理 10】(x  x y)的展开式中，x y的系数为（） A．10B．20C．30D．60 山高人为峰，努力定成功！第2页 共 6 页 2552 2.【2015 高考湖北，理 3】已知(1 x)n的展开式中第 4 项与第 8 项的二项式系数相等，则奇数项的二项式 系数和为（） A．212B．211C．210D．29 3a   23.【2015 高考湖南，理 6】已知x   的展开式中含x 的项的系数为 30，则a （） x   5 A． 3 B． 3C．6D．-6 4.【2014 年湖南卷（理 04） 】( x  2y) 的展开式中x2y3的系数是（） A． 20B．5C．5D．20 题型二题型二 ：填空题：填空题 1 2 5 1 38 例例 2.2.【2015 高考重庆，理 12】x   的展开式中x 的系数是.(用数字作答) 2 x   拓展变式练习拓展变式练习 1.【2015 高考广东，理 9】在( x 1)4的展开式中，x的系数为. 2.【2015 高考四川，理 11】在(2x1)的展开式中，含x2的项的系数是 .（用数字作答）5 5 1   2 3.【2015 高考天津，理 12】在x  的展开式中，x的系数为. 4x  4.【2015 高考安徽，理 11】(x3)7的展开式中x5的系数是.（用数字填写答案） 5.【2015 高考福建，理 11】x2的展开式中，x2的系数等于.（用数字作答） 山高人为峰，努力定成功！第3页 共 6 页 5 6 1 x 一、选择题一、选择题( (本大题共本大题共 3 3 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 1515 分分) ) 1.【2014 年湖北卷（理 02） 】若二项式(2x)7的展开式中 a x 1 的系数是 84，则实数a＝（） 3x 2 3 A． 2B． 4 C．1D． 4 2.【2014 年四川卷（理 02） 】在x(1 x)6的展开式中，含x3项的系数为（） A．30B．20C．15D．10 64 3.【2014 年浙江卷（理 05） 】在(1 x) (1 y)的展开式中，记xmyn项