线段最值垂线段最短

中考数学压轴题突破中考数学压轴题突破 线段最值探索（斜大于直思想）线段最值探索（斜大于直思想） 一、相关知识点一、相关知识点 : : 1 1、点到直线的距离：、点到直线的距离： （（1 1））. .通常，我们把直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线通常，我们把直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线 的距离；（的距离；（ 2 2））. .经过探究我们得到一个事实：直线外一点与直线上各点连经过探究我们得到一个事实：直线外一点与直线上各点连 接的所有线段中，垂线段最短接的所有线段中，垂线段最短. . 即我们今天所要讲的内容即我们今天所要讲的内容“斜大于直”“斜大于直” 问题。问题。 “斜大于直”“斜大于直” 问题在中考线段最值中考察较为广泛，即点到线的最短距离问题在中考线段最值中考察较为广泛，即点到线的最短距离 问题，常见的有问题，常见的有 : : 1. 单线段的最值单线段的最值 ; ; 2. 线段和的最小线段和的最小 ; ; 3. 系数不为系数不为 1 1 的线段和的最值的线段和的最值 （胡不归问题）（胡不归问题） . . 二、例题精选二、例题精选 基 本 模 型 ： 点点P P到到 直直 线线MNMN的的 最最 短短 距距 离离 为为 线线 段段PAPA的的 长长. 变式变式 1 1：：“隐点型”“隐点型” --------（对称隐藏定点型）（对称隐藏定点型） 变式变式 2 2：：“隐点型”“隐点型” --------（运动轨迹隐藏定点型）（运动轨迹隐藏定点型） 反思：反思：①本题的关键在于确定①本题的关键在于确定 △△PEFPEF 的外心，的外心，利用等边三角形的特利用等边三角形的特 殊性将垂直平分线的交点转化为角平分线的交点，寻找到外心殊性将垂直平分线的交点转化为角平分线的交点，寻找到外心. . ②发现外心为一定点，②发现外心为一定点， 则转化为求定点到直线的最短距离问题，则转化为求定点到直线的最短距离问题，即即 垂线段最短垂线段最短 （斜大于直）（斜大于直） . . 变式变式 3 3：：“隐点型”“隐点型” --------（运动轨迹隐藏定点型）（运动轨迹隐藏定点型） 反思：反思： ①看起来是“点到点”实质为“点到线”①看起来是“点到点”实质为“点到线”. . ②本题关键在于发现△②本题关键在于发现△ABQABQ 为固定的直角三角形为固定的直角三角形. . ③由矩形对角线相等将③由矩形对角线相等将MNMN 转化为转化为 PQPQ，则转化为求定点，则转化为求定点Q Q 到直线的最短距离问题，到直线的最短距离问题， 即垂线段最短即垂线段最短 （斜大于直）（斜大于直） . . 变式变式 4 4：：“隐线型”“隐线型” --------（运动隐藏直线轨迹型）（运动隐藏直线轨迹型） 变式变式 5 5：“隐线型”：“隐线型” --------（运动隐藏直线轨迹型）（运动隐藏直线轨迹型） 反思：反思： ①找到点①找到点T T，，N N 的轨迹是本题的首要任务，直线型轨迹的寻找常用方法都是的轨迹是本题的首要任务，直线型轨迹的寻找常用方法都是 定点定角寻找，即找到过某一定点的定角，点的轨迹即为直线定点定角寻找，即找到过某一定点的定角，点的轨迹即为直线. .本题中∠本题中∠ PANPAN，∠，∠TACTAC 均为定值，又经过定点均为定值，又经过定点A A，则轨迹不难发现为是直线，则轨迹不难发现为是直线. . ②再利用②再利用 “斜大于直”“斜大于直” 思想，迅速解答此题思想，迅速解答此题. . 变式变式 6 6：：“隐线型”“隐线型” --------（运动隐藏直线轨迹型）（运动隐藏直线轨迹型） 变式变式 7 7：：“隐线型”“隐线型” --------（运动隐藏直线轨迹型（运动隐藏直线轨迹型--------胡不归问题型）胡不归问题型） 总结：总结： 由上述题组可以发现“斜大于直”问题考察题型较为广泛，可以是单一线由上述题组可以发现“斜大于直”问题考察题型较为广泛，可以是单一线 段最值，也可是多条线段最值，还能是含系数的线段和的最值问题，不管段最值，也可是多条线段最值，还能是含系数的线段和的最值问题，不管 是其中那种类型，都可以利用转化思想对问题进行巧妙处理。是其中那种类型，都可以利用转化思想对问题进行巧妙处理。 ①单线段的最值常见于直接型的点到直线距离问题，当然也可以将定点隐①单线段的最值常见于直接型的点到直线距离问题，当然也可以将定点隐 藏藏“隐点”“隐点” 或将动点形成的直线型轨迹隐藏或将动点形成的直线型轨迹隐藏“隐线”“隐线” ，题目难度就会大大，题目难度就会大大 加深。加深。 ②多线段和的最值始终遵循“同化异，折化直”的解题思路来进行，如遇②多线段和的最值始终遵循“同化异，折化直”的解题思路来进行，如遇 线段带系数，思考能否运用三角函数将系数转化。线段带系数，思考能否运用三角函数将系数转化。 不管是不管是 “隐点”“隐点” 还是还是“隐线”“隐线” 最终都会转化为点到线的距离问题，即始终最终都会转化为点到线的距离问题，即始终 抓住抓住“斜大于直”“斜大于直” 思想找出最短距离即可。思想找出最短距离即可。