考研讲义数三经济部分

. 第十三章第十三章微积分在经济学中的经济应用微积分在经济学中的经济应用 ( (数三）数三） 《考试要求》《考试要求》 1. 掌握导数的经济意义（含边际与弹性的概念） 。 2. 了解差分与差分方程及其通解与特解等概念。 3. 掌握一阶常系数线性差分方程的求解方法。 4. 会应用一阶差分方程、极限、级数等知识求解简单的经济应用问题。 一、一、. .极限及级数在经济学中的应用极限及级数在经济学中的应用 ( (一一) )复利：复利： 设某银行年利率为 r，初始存款为A 0 元， （1）一年支付一次利息（称为年复利） ，则t年后在银行的存款余额为A t  A 0 1r ; （2）若一年支付n次，则t年后在银行的存款余额为A  A 0(1 )nt t n ; t r n r （3）由于lim [(1)r]rt ert，所以当每年支付次数趋于无穷时，t年后得到的存款 n n rt 余额为A t  A 0e， 称为 t 年后按连续复利计算得到的存款余额。 ( (二二) )将来值与现值：将来值与现值： 上述结论中，称A t 是A 0 的将来值，而A 0 是A t 的现值。现值与将来值的关系为： ttttA t  A 0 (1r)A 0  A t (1r) 或 A t  A 0 (1r)A 0  A t (1r) 例例 1 1 现购买一栋别墅价值300万元, 若首付50万元, 以后分期付款, 每年付款数目相 同, 10 年付清, 年利率 为 6%, 按连续复利计算, 问每年应付款多少？ . . 例例 2 2（（0808））设银行存款的年利率为r0.05，并依年复利计算，某基金会希望通过存款 A 万元，实现第一年提取19 万元，第二年提取28 万元，…，第n 年提取（10+9n）万元， 并能按此规律一直提取下去，问A 至少应为多少万元？ 、 . . 二二. . 经济学中的常用函数经济学中的常用函数 需求函数：需求函数：Q  Q(P), 通常Q  Q(P)是P的减函数； 供给函数供给函数：Q  Q(P), 通常Q  Q(P)是P的增函数； 成本函数：成本函数：C(Q)  C0C1(Q), 其中C0 C(0)为固定成本, C 1(Q) 为可变成本； 收益函数：收益函数：R  PQ; 利润函数：利润函数：L(Q)  R(Q)C(Q). 例例 1 1 某厂家生产的一种产品同时在两个市场销售, 售价分别为p1和p2, 销售量分别 为q 1 和q2, 需 求 函 数 分 别 为q 1  2402p 1 , q 2 100.05p 2 , 总 成 本 函 数 为 C  3540(q 1 q 2 ), 试问：厂家如何确定两个市场的售价, 能使其获得的总利润最大？ 最大的总利润为多少？ . . 例例 2 2 （（9999）） 设生产某种产品必须投入两种要素, x 1 和x2分别为两种要素的投入量, Q  为产出量； 若生产函数为Q  2x 1 x 2 , 其中,为正常数, 且 1, 假设两种要素的 价格分别为p1和p2试问： 当产出量为12时, 两要素各投入多少可以使得投入总费用最小？  解 需要在产出量2x 1 x 2 12的条件下, 求总费用p 1x1  p 2 x 2 的最小值, 为此作拉格 朗日函数 F(x,)  px  1,x21x1  p 22 (122x 1 x 2 ).   F  p  1 (1)  x 1 2x 1 x 2  0, 1   F  p 1 (2) x 2 2x 1 x 2  0, 2   F  122x  1 x 2  0.(3) x p 1 2  6( p ),x p 1  (2 p ) ； 因 驻 点 唯 一 , 21 x p 2 1  (),x p  p 2  6(1) 时, 投入总费用最小. 1 p 2 . 由(1)和(2), 得 且 实 际 问 题 存 在 最 小 值 , 故 当 . 三三. . 利用导数求解经济应用问题利用导数求解经济应用问题 （一）、边际量：（一）、边际量： 当某经济量y  y(x)的自变量x增加一个单位时经济量的改变量称为该经济量的 边际量, 如边际成本、 边际收益、 边际利润等, 由于y(x 1) y(x)  y(x), 且对于大数而言, 一个单位可 以看成是微小的, 习惯 上将y(x)视为y  y(x)的边际量. 1 1、、 定义定义 ：： 设y  f x或y  fx,t，则称 dyy y 或为关于x的边际函数。 dxx 2 2、经济学含义、经济学含义：表示自变量x增加一个单位时经济量yx的改变量。 dx (二）、弹性函数：、弹性函数： dy Ey 1 1、、 定义：定义： 设某经济量y  y(x)， 称  Ex dy dx y x  x dy 为 y  y(x)的弹性函数。 y dx 2 2、、 经济学含义：经济学含义： 当自变量x增加1%时, 经济量y  y(x)增加 （  0时） 或减小 （  0 时） %。 3 3、需求弹性：、需求弹性：由于一般情况下需求函数Q  Q(P)是P的减函数, 因此定义需求对 价格的 弹性 E p   EQP dQ = EPQ dP （恒正，表示价格增加（恒正，表示价格增加1%时需求减小时需求减小Ep%）） 例例 1 1 设某产品的成本函数为C(x)  4003x 为产量(假定等于需求量),P为价格, 试求 1001 2 , 其中xx, 而需求函数为P  2x (1)边际成本； (2)边际收益；(3)边际利润； （4）收益的价格弹性 ； . . 例例 2 2 设某商品的需求函数为Q  f (P) 12  1 p 2 （1）求需求弹性函数及P=6 时的需求弹性，并给出经济解释。 （2）当 P 取什么值时，总收益最大？最大总收益是多 例例 3 3（（1515））为了实现利润最大化， 厂商需要对某种商品确定其定价模型。 设 Q 为需求量， P 为价格，MC 为边际成本，为需求弹性（正数） ， （ 1 ） 证 明 定 价 模 型 P= MC 1 1 (2) 若 成 本 函  C(Q) 1600Q2,需求函数Q  40 P,试由（）中的定价模型确定此商品的价格。1 . . 例例 4 4(04)某商品的需求函数为 Q = 100  5P，其中价格 P  (0 , 20)，Q 为需求量. (I) 求需求量对价格的弹性Ed(Ed 0)； (II) 推导 dR  Q(1 Ed)(其中 R 为收益)，并用弹性Ed说明价格在何范围内变化时， dP 降低价格反而使收益增加. 例例 5 5(12)某企业为生产甲、乙两种型号的产品，投入的固定成本为10000(万元)，设该 企业生产甲、乙两种产品的产量分别为 x (件)和 y (件)，且固定两种产品的边际成本 分别为20 x (万元/件)与6 y(万元/件). 2