浙江师范大学微分几何考试卷05

浙江师范大学《微分几何》考试卷 （2005----2006学年第 一学期） 考试形式闭卷使用学生数学 031-034 考试时间150分钟出卷时间2005年12月20 日 说明：考生应将全部答案都写在答题纸上，否则作无效处理。 一、填空题（每空 2 分，共 16 分 ）  X  X(t)是定长的充要条件是 .1、向量函数  2、柱面X{F(u),G(u),v}的第一基本形式为 。  3、若曲面和曲面 1 : X {x, y,2}等距，则的高斯曲率 K=。 4、坐标网是渐近线网的充要条件是。 5、若曲面上的曲线既是渐近线又是曲率线，则是。  6、曲面X(u,v) u  v,u  v,uv在 (u,v)  (2,1)的切平面方程为曲线； 法线方程为。 7、曲面上沿着一条非直线的曲线，它的从切面与曲面的切平面重合，则曲线 是曲面上曲线。 二、是非题（每小题 2 分共 10 分） 1、存在第一类基本量 E=1，F=3，G=3 的曲面。（） 2、球面上每一条曲线都是曲率线。（） 3、曲面上一定存在着曲率线网和渐近线网。（） 4、高斯曲率不是内蕴量。（） 5、曲率和挠率分别等于不为零常数的曲线是圆柱螺线。（） 三、综合题（1-8 每小题 8 分，第 9 小题 10 分，共 74 分） 1、问是否存在曲面使得 g 11 1,g 12  0,g 22  cos2u,  11  cos2u, 12  0, 22 1。为什么？   1 2 1 3  2、求曲线X t,t ,t 的曲率 k 和挠率 。  23   3、求曲线Y  Y(s)的切线曲面的主曲率，平均曲率，曲率线方程。 4、求曲面 : I 2(du1)2 d(u2)2的高斯曲率 K。  5、求正螺面X  u1cosu2,u1sinu2,au2上测地线的方程。   6、证明：若曲面是（非平面）极小曲面，则该曲面有二族互相正交的渐近曲线。 7、设非直线曲线  和另一条曲线  之间建立的一一对应，使得在对应点，曲 线的切线是的主法线，证明是平面曲线。 8、若两曲面 1 ， 2 相交于定角，且交线是 1 的曲率线，则也是 2 的曲率 线。 9、证明：对曲面上的曲线有 （1）若渐近曲线同时为测地曲线，则它必是直线； （2）若曲率线同时为测地线，则它必是平面曲线。 * * 浙江师范大学《微分几何》考试卷参考答案 （2005----2006学年第 一学期） 考试形式闭卷使用学生数学 031-034 考试时间150分钟出卷时间2005年12月20 日 说明：考生应将全部答案都写在答题纸上，否则作无效处理。 一、填空题（每格 2 分共 16 分）  , 1、X(t) X(t)  0 2、(F (u) G (u) )du  dv 2,2,22 3、K=0 4、L=N=0 5、平面曲线 6、3 x  y  2 z  4  0， x 3y 1z  2  312 7、测地 二、是非题（每小题 2 分共 10 分） 1-5：错，对，错，错，对。 三、综合题（1-8 每小题 8 分，第 9 小题 10 分，共 74 分） 1、答：不存在（3 分） 因为g 11 1,g 12  0,g 22  cos2u, L 11  cos2u,L 12  0,L 22 1不满足科达齐方程 ( L 22 g 22 ) u  ( L 12 g 22 2 ) v  L 11 ( g 22 ) u g 11  L 12 ( g 11 ) v g 11 g 22 =0 左边=sinu(cos u  cos2u)  0 （5 分） 2、解：因为X t,t ,t   1  2 2 1 3  3   ,  ,,,  ,,2X  1,t ,t，X 0,1,2t，X 0,0,2 （4 分）  1  ,  ,,42| X  X| (t  4t 1)2 k = （2 分）  3| X,|3 (t4t21)2  ,  ,,  ,,,(X ,X ,X)2  ,  ,,2  42 （2 分） t t 1(X  X ) 3、  解：设曲线Y  Y(s)（s 为弧长参数）的切线曲面为   X  Y(s)  v(s)，则有   X s  vk，X v    2  .X ss  vk (k  vk ) vk，X st  k，X vv  0 （2 分） E=1+v k，F=1，G=1 L=vk ,M=0，N=0 （2 分） 22 k 1  0,k 2   H=  vk （1 分）  2vk （1 分） dv2 dsdvds2 1 0 1=0，即 s=常数，或 v=-s+c （2 分） 0 曲率线方程为1 v2k2 vk 4、解：因为为正交网，所以 K   1 EG (( ( G) u E ) u ( ( E) v G ) v ) （3 分） =- 1 2 1 ((  u  ) u  (v) v ) （2 分）  = 2 ((ln) uu  (ln) vv ) （3 分）  5、解：因为X   vcosu,vsinu,u E=v21,F  0,G 1 （2 分） 由测地线方程为 dv  du E tan G d1E ln E1 lnG tan （2 分） du2Gv2u dv1  2dvv 1 tan v21cos c cotan c v 1c dv 22 ，则测地线方程为 u  c v 1 v 1c 222 （4 分） 6、证：因为是极小曲面，所以k1 k 2  0，为非平面，即有k 1  k 2  0,（2 分） 则 K0,所以极小曲面上的点是双曲点。必有两族渐近曲线。（2 分） 设两族渐近曲线主方向的交角为 1 , 2 ，则由欧拉公式有 tan 1,2   k 1  =1,1, 2  （3 分） 44k 2 两族渐近曲线正交（1 分）  * 7、设曲线 ： X  X(s)（s 为弧长参数）则 为   X* X(s) (s)（1 分） 两边对 s 求导有  ,.  X *  (1)k （1） （1 分） 因为  ，上式两边点积 有 1 0代入 （1）（2 分） 即有 .  *   *  ,X * k （2）再求导有  *,,  X (k k )k(k) （3） （1 分）  ,  *,,  X * X2k32k2 （4） （1 分） （4）再两边点积有 k 0由题意有 0，即证。（2 分）22  * 8、 证：设1， 2 的单位法向量为n 1 ,n 2 ，则由题意有n 1n2 