立体几何怪难题

1.1.如图，在四棱锥如图，在四棱锥P  ABCD中，底面为直角梯形，中，底面为直角梯形，AD// BC , BAD  90，，PA垂直垂直 于底面于底面ABCD，，PA  AD  AB  2BC  2 ,M ,N分别为分别为PC , PB 的中点。的中点。 (1)(1)求证：求证：PB  DM；； （（2 2）求）求BD与平面与平面ADMN所成的角；所成的角； （（3 3）求）求 截面截面ADMN的面积。的面积。 解： （1）证明：因为N是PB的中点，PA  AB， 所以AN  PB。 由PA底面ABCD，得PA AD， 又BAD  90，即BA AD，   AD 平面PAB，所以AD  PB ， PB 平面ADMN，PB  DM。 （2）连结DN， 因为BP 平面ADMN，即BN 平面ADMN， 所以BDN是BD与平面ADMN所成的角， 在RtABD中，BD  BA2 AD2 2 2，在RtPAB中， PB PA2 AB2 2 2 ， 故 BN  1 PB 2 ， 在 2 BN1  ，又0  BDN ， BD2  故BD与平面ADMN所成的角是。 6 RtBDN中,sinBDN  （3）由M ,N分别为PC , PB的中点，得MN //BC，且MN  11 BC  ， 22 又AD// BC，故MN // AD，由（1）得AD 平面PAB，又AN 平面PAB，故 AD  AN， 四 边 形ADMN 是 直 角 梯 形 ， 在RtPAB中 ，PB  PA2 AB2 2 2 ， AN  1 PB 2， 2 11 15 2 (MN  AD) AN (2)2  。 22 24  截面ADMN的面积S  （1）以A点为坐标原点建立空间直角坐标系A xyz，如图所示（图略） 由PA  AD  AB  2BC  2，得A(0,0,0)，P(0,0,2), B(2,0,0), M(1, ,1),D(0,2,0) 因为PBDM  (2,0, 2)(1, ,1)0 ，所以PB  DM。 1 2 3 2 （2）因为 PB AD  (2,0, 2)(0,2,0)0 所以PB  AD，又PB  DM， 故PB 平面ADMN，即PB  (2, 0, 2)是平面ADMN的法向量。 设BD与平面ADMN所成的角为，又BD  (2, 2, 0)。 则sin|cos  BD , PB | 又[0 , | BD PB||4|1  ， | BD|| PB|44442  2 ]，故  6 ，即BD与平面ADMN所成的角是  。 6 A D C P 因此BD与平面ADMN所成的角为  ， 6 B 2.2.如图，已知如图，已知ABCD  A 1B1C1D1 是底面为正方形的长方体，是底面为正方形的长方体， AD 1 A 1  60 ，，AD 1  4，点 ，点P是是AD 1 上的动点．上的动点． （（1 1）试判断不论点）试判断不论点P在在AD 1 上的任何位置，是否都有平面上的任何位置，是否都有平面 B1 A1 D1 C1 B 1PA1 垂直于平面垂直于平面AA 1D1 D并证明你的结论； 并证明你的结论； （（2 2）当）当P为为AD 1 的中点时，求异面直线的中点时，求异面直线AA 1 与与B 1P 所成角的余弦值；所成角的余弦值； （（3 3）求）求PB 1 与平面与平面AA 1D1 所成角的正切值的最大值．所成角的正切值的最大值． 解： （1）不论点P在AD 1 上的任何位置，都有平面B 1PA1 垂直于平面AA 1D1 . 证明如下：由题意知，B 1 A 1  A 1D1 ，B 1 A 1  A 1 A 又 AA 1 A 1D1  A 1 B 1 A 1 平面AA 1D1 又A 1B1 平面B 1PA1 平面B 1PA1 平面AA 1D1 ． （2）解法一：解法一：过点 P 作PE  A 1D1 ，垂足为E，连结B 1E （如图） ，则PE∥ AA 1 ， B 1PE 是异面直线AA 1 与B 1P 所成的角． B A D C P在Rt△AA 1D1 中 ∵AD 1 A 1  60 ∴A 1 AD 1  30 ∴A 1B1  A 1D1  11 AD 1  2,A 1E  A 1D1 1， 22 B1 A1 E C1 D1 B 1E  B 1A1 2 A 1E 25 ．又PE  1 AA 1 3． 2 在Rt△B 1PE 中，B 1P  53  2 2cosB 1PE  PE36 ． B 1P 2 24 z A D C 6 异面异面直线AA 1 与B 1P 所成角的余弦值为． 4 B 0， 0)， 解法二：解法二：以A 1 为原点，A 1B1所在的直线为 x 轴建立空间直角坐标系如图示，则 A 1(0， P A(0， 0， 2 3)，B 1(2， 1，3)，A 1A (0， 0， 0)，P(0，0， 2 3)，B 1P (21 ， ，3) A1 D1 y ∴cos  A 1 A， B 1P  A 1 AB 1P 66 ． 4| A 1 A|| B 1P| 2 32 2 6 ． 4 x B1C1 ∴异面异面直线AA 1 与B 1P 所成角的余弦值为 （3）由（1）知，B 1 A 1 平面AA 1D1 ，B 1PA1 是PB 1 与平面AA 1D1 所成的角， 且tanB 1PA1  B 1 A 1 2  ． A 1P A 1P A 1D1  A 1 A 3 AD 1 当A 1P 最小时，tanB 1PA1 最大，这时A 1P  AD1 ，由A 1P  得tanB 1PA1  2 32 3 ，即PB 1 与平面AA 1D1 所成角的正切值的最大值． 33 6.6.已已知知PA平平面面ABCD，，PA AB  AD  2，，AC与与BD交交于于E点点，，BD  2，， BC CD， ， （（1 1）取）取PD中点中点F，求证，求证: :PB//平面平面AFC。。 （（2 2）求二面角）求二面角APBE的余弦值。的余弦值。 解法解法 1:(1)1:(1)联结EF，∵AB  AD，BC CD，AC=AC ∴ADC  ABC，∴E为BD中点，∵F为PD中点， ∴PB// EF，∴PB//平面ACF （（2 2））联结PE，∵PA AB  AD  BD  2， ∴在等边三角形ABD中,中线AE  BD， 又PA底面ABCD，∴PA BD，∴BD  面PAE， ∴平面PAE 平面PBD。过A作AH  PE于H，则AH 平面PBD， 取PB中点G，联结AG、GH，则等腰三角形PAB中，AG  PB， ∵AH  PB，∴PB 平面AGH，∴PB GH， ∴AGH是二面角APBE的平面角 等腰直角三角形PAB中，AG  ∴RtPAE