空间向量与立体几何角度问题教学设计

空间向量与立体几何（角度问题）教学设计空间向量与立体几何（角度问题）教学设计 一、学习目标：一、学习目标： 1．能借助空间几何体内的位置关系求空间的夹角； 2．能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题，体会向量方法在研究几何问题 中的作用。 3、探究题型，掌握解法。 二、重难点：二、重难点：向量法在立体几何中求空间的夹角应用。探究题型，掌握解法。 三、学情分析： 本节内容是高考热点问题，需要学生做到非常熟练。在平时的学习中，学生已经对该 几类问题有所认识， 本堂课重点在于让学生体会空间角度与向量角度之间的差异， 培养学生 养成良好的答题习惯。 四、教学过程 本节课为高三复习课，所以从开始直奔主题， 从回顾旧知开始直接进入例题讲解、 课堂 练习、方法提炼、课堂小结，重点在于提炼解决类型题的方法并配合相应例题进行巩固，提 高课堂效率。 教学教学 环节环节 教教学学过过程程设设 计计 意意 图图 回顾旧知，让学生理解空间 坐标系的作用在于量化点线面 位置 提问提问 我们都已经学过空间向量，在空间中如何将点 线面的位置量化？ ①点 →空间直角坐标系下点的坐标 ②线→直线的方向向量 明确点、线、面如何用 空间直角坐标系里的坐标 进行标示 共同 总结③面→平面上一的一点、平面的法向量 一：回顾 旧知 直线的方向向量→直线上任意两点坐标之差直线的方向向量→直线上任意两点坐标之差 平面的法向量→①设；②找；③列；④求。平面的法向量→①设；②找；③列；④求。 明确方向向量与平面法 向量的求法，回顾旧知识。 进一 步理 解法 向量 因为在后续问题中，求 已知平面的法向量会多次 出现，在此再次回顾法向量 所谓平面的法向量，就是指所在的直线与所谓平面的法向量，就是指所在的直线与 为何能确定一个平面，让学 生加深对平面法向量的认 的向量，显然一个平面的法向量有的向量，显然一个平面的法向量有 识。 多个，它们是多个，它们是向量．向量． 在空间中，在空间中， 给定一个点给定一个点A A和一个向量和一个向量a a，， 那那 么以向量么以向量a a为法向量且经过点为法向量且经过点A A的平面的平面 是是．． 二：几个空间角的范围二：几个空间角的范围 π (1)异面直线所成的角 θ：0θ≤2； π (2)直线与平面所成的角 θ：0≤θ≤2； (3)二面角 θ：0≤θ≤π. 回顾空间角的范围，先从范 围的角度与向量与向量的 夹角范围进行比较，强调两 者的不同 三、利用向量求空间角三、利用向量求空间角 1 1．两条异面直线所成角的求法．两条异面直线所成角的求法 设两条异面直线设两条异面直线a a，，b b的方向向量为的方向向量为a a，，b b，， 其夹角为其夹角为θθ，则，则 coscosφφ＝＝|cos|cosθθ| |＝＝ ( (其中其中φφ为异面直线为异面直线a a，，b b所成的角所成的角) )．． 2 2．直线和平面所成的角的求法．直线和平面所成的角的求法 如图所示，如图所示， 设直线设直线l l的方向向量为的方向向量为e e，， 平面平面 αα的法向量为的法向量为n n，直线，直线l l与平面与平面αα所成的角为所成的角为 与学生 φφ，两向量，两向量e e与与n n的夹角为的夹角为θθ，则有，则有 sinsinφφ＝＝ |cos|cosθθ| |＝＝ . . 互动 结合图像，让学生更直 观地了解到线面所成的角 与直线方向向量同平面法 向量之间所成的角存在的 区别与联系，从而找到适当 的方法进行调整 3 3．求二面角的大小．求二面角的大小 (1)(1)如图①，如图①，ABAB、、CDCD是二面角是二面角αα－－l l－－ββ的的 结合图像，让学生更直 两个面内与棱两个面内与棱l l垂垂 直的直线，直的直线， 则二面角的大小则二面角的大小 观地了解到二面角与直线 θθ＝＝．． 方向向量同平面法向量之 间所成的角存在的区别与 联系，从而找到适当的方法 (2)(2)如图②③，如图②③，n1n1，，n2n2分别是二面角分别是二面角αα－－l l 进行调整 －－ββ的两个半平面的两个半平面αα，，ββ的法向量，则二面角的法向量，则二面角 的小大的小大θθ＝＝ ．． 教 师 求空间角：设直线 l1，l2的方向向量分别 总 结 规律 为 a a，b b，平面 α、β 的法向量分别为 n n，m m. ①异面直线 l1与 l2所成的角为 θ，则 cosθ |a a·b b| ＝|a a||b b|. ②直线 l1与平面 α 所成的角为 θ，则 sinθ |a a·n n| ＝|a a||n n|. ③平面 α 与平面 β 所成的二面角为 θ，则 |n n·m m| |cosθ|＝|n n||m m|.、 通过之前的对比，分析 清楚空间角与向量角之间 存在的差异后，找寻适当的 方法去解决差异，从而统一 解题方法。 例一：例一：直棱柱直棱柱 ABC-ABC-A’B’C’A’B’C’中，中，AC=3AC=3，，BC=4BC=4，，AB=5AB=5，， 通过该例题，梳理清晰 AC=CC’AC=CC’ 的分析步骤与良好的答题 （1）求异面直线 AC’与 B’C 所成角的余弦值； （2）求 AC’与面 AA’B’B 所成角的余弦值； 习惯，培养学生良好的解题 思路，做到该拿的分拿到 手。同时利用空间向量的方 例 1 分 析 与 讲解。 法解决异面直线所成的角 以及线面角的问题 典例剖典例剖 析析 例二：例二：如图，如图，四棱锥四棱锥 P-ABCDP-ABCD 中，中，底面底面 ABCDABCD 为平行四边形，∠为平行四边形，∠DAB=60DAB=60°，°，AB=2ADAB=2AD，，PDPD ⊥面⊥面 ABCDABCD。。 （1）证明：PA⊥BD； （2）若 PD=AD 求二面角 A-PB-C 的余弦值。 通过该例题，强化对异面直 线所成角的认识，并复习二 面角余弦值的求法。该题在 建系求坐标的时候设置了 一定难度，以培养学生准确 建系，正确求坐标的习惯。 练习一：练习一： 如图，已知如图，已知 P P 在正方体在正方体 ABCD-ABCD-A’B’C’D’的面对角线A’B’C’D’的面对角线 D’BD’B 上，且∠上，且∠PDA=60PDA=60°° 求 DP 与 CC’所成角的大小； 求 DP 与平面 AA’D’D 所成角的大小。 D D C C P P B B A A C C D D A A B B 随堂练随堂练 习习 本题是高考题的改编， 消减了难度，但是让学生初 步体会通过已知条件利用 方程思想去求坐标。 通过简单的课堂练习，巩固 今天的复习内容，培养学生 正确的答题习惯。 A A C B E C D B 用空间向量解决空间角问题的一般步骤用空间向量解决空间角问题的一般步骤 提炼方法，达到高三复习课 •一：合理建系、准确求点；一：合理建系、准确求点； 该达到的效果 •二：清楚对象、量化向量；二：清楚对象、量化向量； •方向向量、坐标相减；面法向量、设找列 求 方法提方法提 •三：向量运算、求解夹角；三：向量运算、求解夹角； •四：因地制宜、适当调整。四：因地制宜、适当调整。 炼炼 •完成试卷中