正弦定理和余弦定理学习笔记

正弦定理和余弦定理正弦定理和余弦定理 （1.1 正弦定理和余弦定理） 一、目标与策略一、目标与策略 明确学习目标及主要的学习方法是提高学习效率的首要条件，要做到心中有数！ 学习目标：学习目标： 使学生掌握正弦、余弦定理的推导过程，能初步运用正弦、余弦定理解斜三角形； 熟记正弦、余弦定理及其变形形式； 通过正弦、余弦定理的推导体现数形结合的思想、分类讨论的思想。 重点难点：重点难点： 重点：正、余弦定理的推导及应用。 难点：正、余弦定理的向量证明，两个定理的综合运用。 学习策略：学习策略： 从特殊到一般：从熟悉的直角三角形的边角关系出发，概括出直角三角形中的正、余弦定理，再推广到一般，探究 任意三角形中的边角关系。 二、学习与应用二、学习与应用 （一）（一）三角形ABC中 （1）一般约定：ABC中角 A、B、C 所对的边分别为； （2）ABC ； （3）大边对，大角对，即B C  b  c；等边对，等角对，即B C b c； （4）两边之和第三边，两边之差第三边，即acb，ac. b. （二）（二）RtABC中,C 900 （1）B A ； （2）a2b2 （3）sin A ，sin B  ，sinC  ；cos A  ，cosB  ，cosC 。 “凡事预则立，不预则废” 。科学地预习才能使我们上课听讲更有目的性和针对 知识点一：正弦定理知识点一：正弦定理 正弦定理：正弦定理： 即：即： （一）直角三角形中的正弦定理的推导（一）直角三角形中的正弦定理的推导 证明：证明： （二）斜三角形中正弦定理的推导（二）斜三角形中正弦定理的推导 法一：构造直角三角形法一：构造直角三角形 （1）当ABC为锐角三角形时 如图，作AB边上的高线CD交AB于D，则 在RtCBD中, CD sinB，即CD asinB， a 在RtACD中, CD sin A,即CDbsin A, b ∴asinB bsinA，即 ab . sin A  sin B 同理可证 bc sin B  sinC ∴ ab sin A  c sin B  sinC （2）当ABC为钝角三角形时 法二：圆转化法法二：圆转化法 （1）当ABC为锐角三角形时 如图，圆 O 是ABC的外接圆，直径为AD  2R， 则C  D，∴sinC sin D  c ， 2R ∴2R  c （R为ABC的外接圆半径） sinC a ， b 2R  sin AsinB 同理,2R  故 abc  2R sin Asin BsinC （2）当ABC为钝角三角形时 法三：面积法法三：面积法 （详细内容请参考知识导学，IDID：：#tbjx9#208608#tbjx9#208608） 法四：向量法法四：向量法 （1）当ABC为锐角三角形时 过A作单位向量j垂直于AC， 则AC+CB=AB 两边同乘以单位向量j， 得j(AC+CB)=jAB，即j AC  jCB  j AB ∴| j || AC |cos900| j ||CB |cos(90oC) rrr uuu rr uuu rr uuu r ruuu rruuu r ruuu r | j || AB |cos(90o A)， r uuu rruuu ruuu r ∵j AC  0，| j |1，|CB | a，| AB | c， cos(90oC) sinC，cos(90o A)  sin A ∴asinC  csin A，∴ a  c sin A ， sinC 同理：若过C作j垂直于CB得： ∴ bc  sin BsinC abc ，  sin Asin BsinC （2）当ABC为钝角三角形时 说明：说明： （1）正弦定理适合于三角形； （2）设R为ABC的外接圆半径，可以证明： abc  _____ sin AsinBsinC （3）每个等式可视为一个方程：知三求一。 （三）利用正弦定理可以解决下列两类三角形的问题：（三）利用正弦定理可以解决下列两类三角形的问题： （1） （2） 知识点二：余弦定理知识点二：余弦定理 余弦定理：余弦定理： 即：即： （一）余弦定理的推导（一）余弦定理的推导 已知：ABC中，BC  a，AC b及角C，求角C的对应边c. 方法一：几何法方法一：几何法 （1）当ABC为锐角三角形时 如图，作BC边上的高AD 根据勾股定理有： AC2 AD2CD2，AB2 AD2 BD2， ∵RtADC中，CD ACg cosC， ∴AB2 (AC2CD2) BD2 AC2(ACgcosC)2(CB CD)2  b2b2cos2C (a bcosC)2 =b2a22abcosC 即：c2 a2b22abcosC. （2）当ABC为钝角三角形且 C 为钝角时 （3）当ABC为直角三角形且 C 为直角时 方法二：向量法方法二：向量法 （1）当ABC为锐角三角形时（如图） ， ∵AC CB  AB， uuu ruuu ruuu r ∴ABgAB  (AC CB)(AC CB) uuu r uuu ruuu ruuu r uuu ruuu r uuu r 2 uuu r uuu ruuu r 2  AC 2CBgAC CB uuu ruuu ruuu ruuu r | AC |22|CB |g | AC |cos(C)|CB |2 b22bacosC a2 即：c2 a2b22abcosC (*) 同理可得：b2 a2c22accosB,a2b2c22bccosA （2）当ABC为钝角三角形且 C 为钝角时（如图） 注意：注意： （1）推导（*）中，AC与CB的夹角应通过平移后得到，即向量的起点应重合， 因此AC与CB的夹角应为C，而不是C. （2）对于直角三角形中C   时，cosC 0,则c2 a2b2，恰好满足勾股定理。 方法三：解析几何方法——利用两点间距离公式方法三：解析几何方法——利用两点间距离公式 uuu ruuu r uuu ruuu r 2 （详细内容请参考知识导学，IDID：：#tbjx12#208608#tbjx12#208608） （二）余弦定理的变形公式：（二）余弦定理的变形公式： cosA __________________ cosB  __________________ cosC  __________________ （三）利用余弦定理可以解决下列两类三角形的问题：（三）利用余弦定理可以解决下列两类三角形的问题： （1） （2） 知识点三：解三角形知识点三：解三角形 一般地，叫作解三角形解三角形。 类型一：正弦定理的应用类型一：正弦定理的应用 例例 1 1．．已知在ABC中，c 10，A 45o，C 30o，解三角形. 解：解： 总结升华：总结升华： 举一反三：举一反三： 【变式 1】在ABC中，已知A32.00，B81.80，a