概率论与数理统计教程习题随机变量及其分布答案

概率论与数理统计练习题概率论与数理统计练习题 系系专业专业班班姓名姓名学号学号 第六章第六章随机变量数字特征随机变量数字特征 一．填空题一．填空题 X 1. 若随机变量X的概率函数为 p 11234 ，则 0.20.10.30.30.1 P(X  2)  ；P(X  3) ；P(X  4 X  0) . 2. 若随机变量X服从泊松分布P(3)，则P(X  2) 1 4e3 0.8006. k 3. 若随机变量X的概率函数为P(X  k)  c2 ,(k 1,2,3,4).则c  16 . 15 4．设 A,B 为两个随机事件，且A 与 B 相互独立，P(A)=，P(B)=,则P(AB)=____________.（） 5．设事件 A、B 互不相容，已知P(A)  0.4，P(B)  0.5，则P(AB)  ； 6． 盒中有 4 个棋子，其中 2 个白子，2 个黑子，今有 1 人随机地从盒中取出 2 个棋子，则这 2 个棋子颜色相同的概率为____________.（ 1 ） 3 1 ） 2 7．设随机变量 X 服从[0,1]上的均匀分布，则E(X)＝____________.（ 8．设随机变量 X 服从参数为 3 的泊松分布，则概率密度函数为__. 3k 3=e ,k  0,1,2 （P(X  k） k! ） 9．某种电器使用寿命X（单位：小时）服从参数为 均使用寿命为____________小时.（40000） 1 的指数分布，则此种电器的平 40000 10 在 3 男生 2 女生中任取 3 人，用X表示取到女生人数，则X的概率函数为 X p 012 . 0.10.60.3 11.若随机变量X的概率密度为 f (x)  a1 a , (  x  )，则 ； 1 x2 P(X  0)  ；P(X  0) 0. 1  12.若随机变量X ~ U(1, 1)，则X的概率密度为 f (x)  2  0 x(1,1) 其它 13.若随机变量X ~ e(4)，则P(X  4) ；P(3  X  5) . . 14.．设随机变量 X 的可能取值为 0，1，2，相应的概率分布为 ,,，则E(X)  15．设 X 为正态分布的随机变量，概率密度为f (x)  1 e 2 2 (x1)2 8，则E(2X 1) 92 16.已知 X～B（n,p），且 E（X）=8，D（X）=，则 n=。 17．设随机变量 X 的密度函数为f (x)  1 |x|e( x  )，则E(X)  0 2 二、单项选择题二、单项选择题 1．甲、乙、丙三人射击的命中率分别为、 、 ，则三人都未命中的概率为( D) A． B. C.D. 2．若某产品的合格率为，某人检查5 只产品，则恰有两只次品的概率是(D) 】 22CC 55 A．·D.·· 3．设离散型随机变量X 的概率分布律为 X0 p 1 1/2 2 1/4 a 则常数 a =( B) A．1/84 32 4．设随机变量 X 的概率密度为f (x)  A．正态分布 B.指数分布 C.泊松分布D.均匀分布 5．设随机变量X~B(n, p)，且E(X)  2.4,D(X) 1.44，则参数n, p的值分别为(B) A．4 和 和 C. 8 和和 1 2π e (x22x1) 2，则 X 服从(A) 1  ,3x6, 6．设随机变量 X 的概率密度为f (x) 3则P3X≤4=(B)  0, 其他， * A．P1X≤2B. C.P3X≤5D. P4X≤5 P2X≤7 7. 设 X 为随机变量且X ~ N(0,1)，c为常数，则下列各式中不正确的是（D） A．E(X） =0 B.E(cX)  cE(X)  0 C.D(X) 1D.D(cX+1) cD(X)  c  2e2xx  0; 8.已知随机变量 X 的概率密度函数为f (x) 则 X 的均值和方差分别为 （D） 其它. 0 A.E(X)  2,D(X)  4 C.E(X)  B.E(X)  4,D(X)  2 D.E(X)  11 ,D(X)  42 11 ,D(X)  24 三．解答题三．解答题 1. 在 10 件产品中有 2 件次品，每次任取出一件， 然后以一件正品放入。 假定每件产品被取到的 可能性是相同的，用X表示直到取到正品为止时的抽取次数，求X的概率分布及期望，方差。 “ 解:随机变量X可以取值 1，2，3. P(X 1)  8/10  0.8，P(X  2)  29  0.18， 10 10 P(X  3)  2110  0.02. 10 10 10 123 . 0.80.180.02 X 所以，X的概率分布为 p 所以E(X) 10.820.1830.02 1.22 又因为E(X ) 1 0.82 0.183 0.02 1.7 所以D(X)  E(X ) E(X) 1.71.22  0.2116 22 2222 2. 在一坐写字楼内有 5 套供水设备，任一时刻每套供水设备被使用的概率都为，且各设备的使 用是相互独立的。 求在同一时刻被使用的供水设备套数的概率分布； 并计算下列事件的概率：（1） 恰有两套设备被同时使用， （2）至少有 3 套设备被同时使用， （3）至少有 1 套设备被使用。 解:设同一时刻被使用的供水设备的套数为X.则X ~ B(5, 0.1)（二项分布）. kk5k 于是，pk P(X  k)  C50.1 0.9， （k 0，1，2，3，4，5） ，即 X P k ~ 0 0.59049 1 0.32805 2 0.07290 3 0.00810 4 0.00045 5 . 0.00001 P(X  2)  p2 0.07290, P(X  3)  p 3  p 4  p 5  0.00810  0.00045  0.00001  0.00856, P(X 1) 1 P(X 1) 1 p 0 10.59049  0.40951. 3.若某型号电子元件的使用寿命X ~ e(10000)（单位：h） ， （1）写出概率密度f (x)； （2） 求概率P(X 15000)； （3）求这样的 5 个独立使用的元件在 15000 小时后至多有两个能使用 的概率。.  1  10000 e 解:（1）随机变量X的概率密度为f (x)  0,  x 10000, x  0, x  0. ） x 10000 （2  15000  1 f (x)dx e 10000  15000 P(X 15000)   e 【 dx  x 10000 15000  e1.5 0.2231. （3）用Y表示 5 个这样独立使用的元件在15000 小时后仍能使用的个数， 则Y服从二项分布B(5, e1.5).于是 P(Y  2) 