概率论与数理统计魏宗舒答案

第第一一章章事事件件与与概概率率 1.1 写出下列随机试验的样本空间及表示下列事件的样本点集合。 (1)10 件产品中有 1 件是不合格品，从中任取 2 件得 1 件不合格品。 (2)一个口袋中有 2 个白球、3 个黑球、4 个红球，从中任取一球，(ⅰ)得白球，(ⅱ)得红球。 解 (1)记 9 个合格品分别为正 1,正2， ，正 9 ，记不合格为次，则 (2)记 2 个白球分别为 1 ，2，3 个黑球分别为b1，b2，b3，4 个红球分别为r 1 ，r2，r 3 ，r4。则 { 1 ，  2 ，b1，b2，b3，r 1 ，r2，r 3 ，r4}(ⅰ)A { 1 ，2} (ⅱ)B {r 1 ，r2，r 3 ，r4} 1.2 在数学系的学生中任选一名学生，令事件 A 表示被选学生是男生，事件 B 表示被选学生是三年级学生，事件 C 表示该生是运动员。(1) 叙述ABC的意义。(2)在什么条件下ABC  C成立？(3)什么时候关系式C  B是正确的？ (4) 什么时候A  B成立？ 解 (1)事件ABC表示该是三年级男生，但不是运动员。 (2) ABC  C 等价于C  AB，表示全系运动员都有是三年级的男生。 (3)当全系运动员都是三年级学生时。 (4)当全系女生都在三年级并且三年级学生都是女生时`。 1.3 一个工人生产了n个零件，以事件Ai表示他生产的第i个零件是合格品（1 i  n）。用Ai表示下列事件： (1)没有一个零件是不合格品；(2)至少有一个零件是不合格品；(3)仅仅只有一个零件是不合格品；(4)至少有两个零件是不合格品。 解 (1)  A ; (2) A A ; (3) [A (A )] ; i nnnnn iiij i1i1i1i1j1 ji n (4)原事件即“至少有两个零件是合格品”，可表示为 i, j1 i j A A ij ； 1.4 证明下列各式： (1)A B  B A;(2)A B  B A(3)(A B)C A(B C);(4)(A B)C A(B C) (5)(A  B)  C (AC) (BC)(6) A A ii i1i1 nn 证明 （1）—（4）显然，（5）和（6）的证法分别类似于课文第 10—12 页（1.5）式和(1.6)式的证法。 1.5 在分别写有 2、4、6、7、8、11、12、13 的八张卡片中任取两张，把卡片上的两个数字组成一个分数，求所得 分数为既约分数的概率。 解 样本点总数为A8  87。所得分数为既约分数必须分子分母或为 7、11、13 中的两个，或为 2、4、6、8、12 中的一个和 7、11、13 中的一个组合，所以事件 于是 P(A) 11 A 5  236个样本点。A“所得分数为既约分数”包含A 3 2 2A 3 2  2369  。 8714 1.6 有五条线段，长度分别为 1、3、5、7、9。从这五条线段中任取三条，求所取三条线段能构成一个三角形的概率。 5 解 样本点总数为 3 10。所取三条线段能构成一个三角形，这三条线段必须是 3、5、7 或 3、7、9 或多或 5、   7、9。所以事件A“所取三条线段能构成一个三角形”包含 3 个样本点，于是P(A)  3 。 10 1.7 一个小孩用 13 个字母A, A, A,C,E,H,I,I,M,M,N,T,T作组字游戏。如果字母的各种排列是随机的（等可 能的），问“恰好组成“MATHEMATICIAN”一词的概率为多大？ 解显 然 样 本 点 总 数 为13!， 事 件 A “ 恰 好 组 成 “ MATHEMATICIAN ” 包 含3!2!2!2!个 样 本 点 。 所 以 P(A)  3!2!2!2!48  13!13! 1.8 在中国象棋的棋盘上任意地放上一只红“车”及一只黑“车”，求它们正好可以相互吃掉的概率。 解 任意固定红“车”的位置，黑“车”可处于 9101 89个不同位置，当它处于和红“车”同行或同列的 98 17个位置之一时正好相互“吃掉”。故所求概率为P(A)  17 89 1.9 一幢10 层楼的楼房中的一架电梯，在底层登上 7位乘客。电梯在每一层都停，乘客从第二层起离开电梯，假设 每位乘客在哪一层离开电梯是等可能的，求没有两位及两位以上乘客在同一层离开的概率。 解 每位乘客可在除底层外的 9 层中任意一层离开电梯，现有 7 位乘客，所以样本点总数为9。事件A“没有两位 及两位以上乘客在同一层离开”相当于“从 9 层中任取 7 层，各有一位乘客离开电梯”。所以包含 A 9 个样本点，于是 7A 9P(A)  7 。 9 7 7 1.10 某城市共有 10000 辆自行车，其牌照编号从 00001 到 10000。问事件“偶然遇到一辆自行车，其牌照号码中有 数字 8”的概率为多大？ 94 9  解 用A表示“牌照号码中有数字 8”，显然P(A)    ，所以 10000 10 94 9  P(A) 1-P(A) 1 1  10000 10 1.11 任取一个正数，求下列事件的概率： (1)该数的平方的末位数字是 1；(2)该数的四次方的末位数字是 1；(3)该数的立方的最后两位数字都是 1； 解 (1) 答案为 4 4 142 。(2)当该数的末位数是 1、3、7、9 之一时，其四次方的末位数是 1，所以答案为  5105 2 (3)一个正整数的立方的最后两位数字决定于该数的最后两位数字，所以样本空间包含 10 个样本点。用事件A表 示“该数的立方的最后两位数字都是 1”，则该数的最后一位数字必须是 1，设最后第二位数字为a，则该数的立方的最 后两位数字为 1 和 3a的个位数，要使 3a的个位数是 1，必须a （……） 1.12 一个人把 6 根草掌握在手中，仅露出它们的头和尾。然后请另一个人把 6 个头两两相接，6 个尾也两两相接。 求放开手以后 6 根草恰好连成一个环的概率。并把上述结果推广到2n根草的情形。 解 (1)6根草的情形。取定一个头，它可以与其它的 5个头之一相接，再取另一头，它又可以与其它未接过的 3个之 一相接，最后将剩下的两个头相接，故对头而言有 531种接法，同样对尾也有531种接法，所以样本点总数为  7，因此A所包含的样本点只有 71 这一点，于是 (531)2。用A表示“6 根草恰好连成一个环”，这种连接，对头而言仍有531种连接法，而对尾而言，任取一尾， 它只能和未与它的头连接的另 4 根草的尾连接。再取另一尾，它只能和未与它的头连接的另 2 根草的尾连接，最后再将 其 余 的 尾 连 接 成 环 ， 故 尾 的 连 接 法 为 42 。 所 以 A 包 含 的 样 本 点 数 为 (531)(42) ， 于 是 P(A)  (531)(42)8  (2) 2n根草的情形和(1)类似得 15(531)2 1.13 把n个完全相同的球随机地放入N