概率论基本概念学习笔记

概率论的基本概念概率论的基本概念 统计规律性：在大量重复实验或观察中所呈现的固有规律性。 随机现象： 在个别试验中结果呈现不确定性， 在大量重复实验中其结果具有统计规律性的现 象。 概率论与数理统计是研究和揭示随机现象统计规律性的一门数学学科。 随机实验随机实验 随机试验的特点： 1、可以在相同条件下重复进行 2、每次实验的可能结果不止一个，并且能事先明确实验的所有结果 3、一次试验前不能确定哪一个结果会出现 通过随机试验来研究随机现象 样本空间、随机现象样本空间、随机现象 随机试验 E 的所有可能的结果组成的集合，称为 E 的样本空间样本空间，记作 S。 样本空间的元素，即 E 的每个结果，称为样本点样本点。 试验 E 的样本空间 S 的子集，称为 E 的随机事件随机事件，简称事件事件。在每次试验中，当且仅当这 一子集中的样本点出现时，称这一事件发生事件发生。由一个样本点组成的单点集，称为基本事件基本事件。 样本空间 S，称为必然事件必然事件，空集 Ø 称不可能事件不可能事件。 事件间的关系与事件运算 1、A = B 相等 2、事件 A∪B={x|x∈A 或 x∈B}称为事件 A 与事件 B 的和事件和事件 3、事件 A∩B={x|x∈A 且 x∈B}称为事件 A 与事件 B 的积事件积事件 4、事件 A-B={x|x∈A 且xB}称为事件 A 与事件 B 的差事件事件 5、事件 A∩B=Ø 称事件 A 与事件 B 互不相容互不相容 6、事件 A∪B=S 且 A∩B=Ø 称事件 A 与事件 B 互为逆事件逆事件，或对立事件对立事件 频率与概率频率与概率 概率重要性质 1、P(Ø) = 0 2、有限可加性：A1,A2,.,An是两两互不相容的事件，则有 P(A1∪A2∪.∪An)=P(A1)+P(A2)+.+P(An) 3、 A  B ，则 P(B-A) = P(B) - P(A) P(B) ≥ P(A) 4、P(A) ≤ 1 5、逆事件概率： P(－A) = 1 - P(A) 6、加法公式 P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(AB) 等可能概率（古典概率）等可能概率（古典概率） 等可能概率的特点 1、试验中的样本空间只包含有限个元素 2、试验中每个基本事件发生的可能性相同 概率很小的事件在一次试验中实际上几乎是不发生的， 称为实际推断原理实际推断原理。 如果概率很小的 事件在一次试验中竟然发生了，有理由怀疑假设的正确性。 条件概率条件概率 设 A、B 是两个事件，且 P(A)0，称 P(B|A) = P(AB) P(A) 为在事件 A 发生的条件下事件B 发生的条件概率条件概率。 由条件概率可得乘法公式乘法公式 P(AB) = P(B|A)P(A) 推广得 P(ABC) = P(C|AB)P(B|A)P(A) 设 S 为试验 E 的样本空间，B1，B2，，，Bn为 E 的一组事件，若 （i） （ii） BiBj = Ø，i≠j, i,j=1,2,,,n B1∪B2∪…∪Bn= S 则称 B1，B2，，，Bn为样本空间 S 的一个划分划分。 设 S 为试验 E 的样本空间， A 为 E 的事件， B1,B2,,,Bn为 S 的一个划分划分， 且 P(Bi)0 (i=1,2,,,n) 则 P(A) = P(A|B1)P(B1) + P(A|B2)P(B2) + … + P(A|Bn)P(Bn) 称为全概率公式全概率公式 𝑃 𝐵𝑖𝐴 = 𝑛 𝑃 𝐴|𝐵𝑖𝑃(𝐵𝑖) 𝑗=1 𝑃 𝐴|𝐵 𝑗 𝑃(𝐵 𝑗 ) 称为贝叶斯公式贝叶斯公式 由以往数据分析得到的概率，叫做先验概率先验概率 在得到信息后再重新加以修正的概率，叫做后验概率后验概率 独立性独立性 设 A、B 是两个事件，如果满足等式 P(AB) = P(A) P(B)， 则称事件 A，B 相互独立相互独立，简称 A，B 独立独立。 容易知道，若 P(A)0, P(B)0, 则 A，B 相互独立与 A，B 互不相容不能同时成立。 设 A、B 是两个事件，且 P(A)0，若 A，B 相互独立，则 P(B|A) = P(B)，反之亦然。 －－－ 若 A，B 相互独立，则下列各事件也相互独立：A 与－B，A与 B，A与B 一般，设 A1,A2,…,An是 n(n2)个事件，如果对于其中任意2 个，任意 3 个，…，任意n 个 事件的积事件的概率，都等于各事件概率之积，则称设A1,A2,…,An相互独立。 两事件相互独立的含义是它们中一个已发生，不影响另一个发生的概率。