概率论与数理统计知识点

第第 1 1 章章随机事件及其概率随机事件及其概率 nP m  （1）排列 组合公式 nC m  m! 从 m 个人中挑出 n 个人进行排列的可能数。 (m  n)! m! 从 m 个人中挑出 n 个人进行组合的可能数。 n!(m  n)! （2）加法 和 乘 法 原 理 加法原理（两种方法均能完成此事）加法原理（两种方法均能完成此事） ：：m+nm+n 某件事由两种方法来完成，第一种方法可由m 种方法完成，第二种方法可由n 种方法来完成，则这件事可由m+n 种方法来完成。 乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事）乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事） ：：m m××n n 某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由m 种方法完成，第二个步骤可由n 种方法来完成，则这件事可由m×n 种方法来完成。 重复排列和非重复排列（有序） 对立事件（至少有一个） 顺序问题 如果一个试验在相同条件下可以重复进行，而每次试验的可能结果不止一个， 但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果，则称这种试验为随机试 验。 试验的可能结果称为随机事件。 在一个试验下，不管事件有多少个， 总可以从其中找出这样一组事件， 它具有 如下性质： ①每进行一次试验，必须发生且只能发生这一组中的一个事件； ②任何事件，都是由这一组中的部分事件组成的。 这样一组事件中的每一个事件称为基本事件，用来表示。 基本事件的全体，称为试验的样本空间，用表示。 一个事件就是由中的部分点（基本事件）组成的集合。通常用大写字母 A，B，C，…表示事件，它们是的子集。 为必然事件，Ø 为不可能事件。 不可能事件（Ø）的概率为零，而概率为零的事件不一定是不可能事件； 同理， 必然事件（Ω）的概率为1，而概率为 1 的事件也不一定是必然事件。 ①关系：①关系： 如果事件如果事件 A A 的组成部分也是事件的组成部分也是事件B B的组成部分，的组成部分， （（A A发生必有事件发生必有事件B B发生）发生） ：： （3）一些 常见排列 （4）随机 试 验 和 随 机事件 （5）基本 事件、样本 空 间 和 事 件 A B （6）事件 的 关 系 与 运算 如果同时有如果同时有A B，，B  A，， 则称事件则称事件A A与事件与事件B B等价，等价， 或称或称A A等于等于B B：：A=BA=B。。 A A、、B B中至少有一个发生的事件：中至少有一个发生的事件：A AB B，或者，或者A A+ +B B。。 属于属于A A而不属于而不属于B B的部分所构成的事件，称为的部分所构成的事件，称为A A 与与B B的差，记为的差，记为A-BA-B，也可表，也可表 示为示为A-ABA-AB或者或者AB，它表示，它表示A A发生而发生而B B不发生的事件。不发生的事件。 A A、、B B同时发生：同时发生：A AB B，或者，或者ABAB。。A A  B=B=Ø，则表示Ø，则表示A A 与与 B B 不可能同时发生，称不可能同时发生，称 事件事件 A A 与事件与事件 B B 互不相容或者互斥。基本事件是互不相容的。互不相容或者互斥。基本事件是互不相容的。 1 -A -A 称为事件称为事件 A A 的逆事件，或称的逆事件，或称A A 的对立事件，记为的对立事件，记为A。它表示。它表示A A 不发生不发生 的事件。互斥未必对立。的事件。互斥未必对立。 ②运算：②运算： 结合率：结合率：A(BC)=(AB)C AA(BC)=(AB)C A∪∪(B(B∪∪C)=(AC)=(A∪∪B)B)∪∪C C 分配率：分配率：(AB)(AB)∪∪C=(AC=(A∪∪C)C)∩∩(B(B∪∪C) (AC) (A∪∪B)B)∩∩C=(AC)C=(AC)∪∪(BC)(BC) 德摩根率：德摩根率： i1 A A i i1  i A B  A B，，A B  A B （7）概率 的 公 理 化 定义 设为样本空间，A为事件，对每一个事件A都有一个实数 P(A)，若满 足下列三个条件： 1° 0≤P(A)≤1， 2° P(Ω) =1 3° 对于两两互不相容的事件A1，A2，…有  P  Ai  P(Ai)  i1  i1 常称为可列（完全）可加性。 则称 P(A)为事件A的概率。  1 , 2  n  ，1°   2°P(1)  P( 2 ) P( n )  （8）古典 概型 1 。 n 设任一事件A，它是由1, 2  m 组成的，则有 P(A)=( 1 )( 2 )( m ) =P( 1 )  P( 2 )  P( m )  mA所包含的基本事件数  基本事件总数n （9）几何 概型 若随机试验的结果为无限不可数并且每个结果出现的可能性均匀， 同时样本空 间中的每一个基本事件可以使用一个有界区域来描述， 则称此随机试验为几何 概型。对任一事件 A， P(A)  （10）加法 公式 L(A) 。其中 L 为几何度量（长度、面积、体积） 。 L() P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB) 当当 ABAB 不相容不相容 P(AB)P(AB)＝＝0 0 时，时，P(A+B)=P(A)+P(B)P(A+B)=P(A)+P(B) 当当 ABAB 独立，独立，P(AB)=P(A)P(B), P(A+B)=P(A)+P(B)-P(A)P(B)P(AB)=P(A)P(B), P(A+B)=P(A)+P(B)-P(A)P(B) P(A-B)=P(A)-P(AB)P(A-B)=P(A)-P(AB) 当当 B BA A 时，时，P(A-B)=P(A)-P(B)P(A-B)=P(A)-P(B) 当当 A=A=Ω时，Ω时，P(P(B)=1- P(B))=1- P(B) 定义定义 设设 A A、、B B 是两个事件，且是两个事件，且P(A)0P(A)0，则称，则称 （11）减法 公式 （12）条件 概率 P(AB) 为事件为事件 A A 发生条件下，事发生条件下，事 P(A) 1 件件 B B 发生的条件概率，记为发生的条件概率，记为P(B/ A)  P(AB) 。。 P(A) （13）乘法 公式 条件概率是概率的一种，所有概率的性质都适合于条件概率。条件概率是概率的一种，所有概率的性质都适合于条件概率。 例如例如 P(P(ΩΩ/B)=1/B)=1P(P(B/A)=1-P(B/A)/A)=1-P(B/A) 乘法公式：P(AB)  P(A)P(B/ A) 更一般地，对事件 A1，A2，…An，若 P(A1A2…An-1)0，则有 P(A1A2 … An) P(A1)P(A2| A1)P(A3| A1A2) …… P(An| A1A2 … An  1) 。 ①两个事件的独立性①两个事件的独立性 设事件设事件A、、B满足满足 P(AB)  P(A)P(B) ，， 则称事件则称事件A、、B是相互独立的。是相互独立的。 若事件若事件A、、B相互独立，且相互独立，且 P(A)  0 ，则有，则有