把握折叠实质 感悟数形结合

把握折叠实质 感悟数形结合 考点提炼 考点1 如图1，在菱形纸片ABCD中，E是BC边上一点，将△ABE沿直线AE翻折，使点B落在B′处，连接DB′. 已知∠C = 120°，∠BAE = 50°，则∠AB′D的度数为（ ）. A. 50° B. 60° C. 80° D. 90° 解题思路：由折叠的性质知∠BAE = ∠B′AE = 50°，AB′ = AB，则∠BAB′ = 100°，由菱形的性质得∠BAD = 120°，AB = AD，则∠DAB′ = 20°，AB′ = AD，利用三角形内角和定理可得∠AB′D = 80°. 故选C. 解题要点：折叠具有全等性，折叠前后图形的形状和大小不变，对应边相等，对应角相等. 考点2 如图2，将正方形纸片ABCD沿MN折叠，使点D落在边AB上，对应点为D′，点C落在C′处. 若AB = 6，AD′ = 2，则折痕MN的长为 . 解题思路：如图2，过点N作NE⊥AD，垂足为点E，连接DD′. 易证明△NEM ≌ △DAD′，则MN = DD′，利用勾股定理求出DD′的长， 即可得到折痕MN的长为[210]. 解题要点： 折叠具有对称性，折痕垂直平分对应点所连线段. 考点3 如图3，将矩形纸片ABCD沿CE折叠，使点B落在边AD上的点F处. 若点E在边AB上，AB = 4，BC = 5，则AE = . 解题思路：方法1：由折叠性质可得CF = BC = 5，BE = EF，由矩形性质得CD = AB = 4，BC = AD = 5. 在Rt△CDF中，由勾股定理得出DF = 3，进而得出AF = 2. 在Rt△AEF中，设AE = x，利用勾股定理建立方程求解，即可得到AE的长为[32]. 方法2：由折叠性质可得CF = BC = 5，BE = EF，由矩形性质得CD = AB = 4，BC = AD = 5. 在Rt△CDF中，由勾股定理得出DF = 3，进而得出AF = 2. 利用△AEF∽△DFC，即可得到AE的长为[32]. 解题要点：在解决折叠中的线段计算问题时，应关注方程思想，运用勾股定理、解直角三角形、相似等知识建立方程求解. 真题精讲 例1 （2022·辽宁·抚顺·本溪·辽阳）如图4，正方形ABCD的边长为10，点G是边CD的中点，点E是边AD上一动点，连接BE，将△ABE沿BE翻折得到△FBE，连接GF，当GF最小时，则AE的长是 . 解析： 由折叠的性质可知，BF = BA = 10，则点F在以点B为圆心，10为半径的圆上运动，如图5，当点G，F，B三点共线时，GF最小. 方法1：在Rt△CBG中，由勾股定理可以求出BG = [55]，则FG = [55] - 10. 设AE = EF = x，则DE = 10 - x，在Rt△DEG与Rt△FEG中，利用勾股定理建立方程，即可得到AE的长为[55] - 5. 方法2：在Rt△CBG中，由勾股定理可以求出BG = [55]. 设AE = EF = x，利用等面积法 S梯形ABGD = S△EDG + S△ABE + S△EBG，建立方程，即可得到AE的长为[55] - 5. 点评：确定当点G，F，B三点共线时，GF最小是解题的关键. 例2 （2022·辽宁·沈阳）如图6，将矩形纸片ABCD折叠，折痕为MN，点M，N分别在边AD，BC上，点C，D的对应点分别为点E， F，且点F在矩形内部，MF的延长线交边BC于点G，EF交边BC于点H，EN = 2，AB = 4. 当点H为GN的三等分点时，则MD的长为 . 解析：如图7，过点G作GP⊥AD于点P， 则PG = AB = 4. 根据折叠的性质和平行线的性质可知∠GMN = ∠MNG，则MG = NG. 根据折叠的性质和矩形的性质可以证明△FGH∽△ENH. 由点H为GN的三等分点，分情况讨论. 当HN = 2GH时， 如图7，由△FGH∽△ENH可知FG = 1. 设MD = MF = x，则MG = GN = x + 1，∴PM = 3，在Rt△PGM中，根据勾股定理列方程可以求出MD = 4. 当GH = 2HN时， 如图8，由△FGH∽△ENH可知FG = 4. 设MD = MF = x，则MG = GN = x + 4，∴PM = 6，在Rt△PGM中，根据勾股定理列方程可以求出MD = [213] - 4. 綜上，MD的长为4或2[13] - 4. 点评：解涉及三等分点的问题时，一定注意要分类讨论. 勤于积累 （1）折叠问题通常会产生以折痕为底的等腰三角形. 如图9，△AEC是等腰三角形. （2）解决问题时，要善于挖掘隐含条件，出现双中点时可以使用中位线定理，实现位置关系与数量关系的双迁移. （3）关注方程思想，利用折叠所得到的直角和相等的边或角，根据题意选择一条适当的线段设为x，根据折叠的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，然后运用勾股定理、三角函数、相似列出方程求解. （4）在处理平面几何的许多问题时，常需要借助于圆的性质，而我们需要的圆往往并不存在，这就需要利用已知条件，借助图形把所需的圆找出来. 在解决折叠问题时，如果折痕是可变化的并且经过某个定点，那么折叠后关键点的位置也是可变的，此时就需要利用等线段画圆，从而迅速确定好关键点的位置，作出正确图形，进而求解. 专题精练 1. 如图10，在Rt△ABC纸片中，∠ACB = 90°，D是斜边AB的中点，把纸片沿着CD折叠，使点B落到点E的位置，连接AE. 若AE[⫽]DC，∠B = α，则∠EAC等于（ ）. A. α B. 90° - α C. [12]α D. 90° - 2α 2.如图11，正方形ABCD的边长为3，E为BC边上一点，BE = 1. 将正方形沿GF折叠，使点A恰好与点E重合，连接AF，EF，GE，则四边形AGEF的面积为（ ）. A. [210] B. [25] C. 6 D. 5 3. 如图12，在矩形ABCD中，AB = 5，BC = 6，点M，N分别在AD，BC上，且AM = [13]AD，BN = [13]BC，E为直线BC上一动点，连接DE，将△DCE沿DE所在直线翻折得到△DC′E，当点C′恰好落在直线MN上时，CE的长为 . 参考答案：1. B 2. D 3. [52]或10