标准化方法证明非齐次不等式、齐次不等式

标准化方法证明非齐次不等式、齐次不等式标准化方法证明非齐次不等式、齐次不等式 在前面几节，我们讲述了将非齐次不等式转化为齐次不等式。另一方面，在前面几节，我们讲述了将非齐次不等式转化为齐次不等式。另一方面， 齐次不等式也能采用各种方法标准化。我们用【试题齐次不等式也能采用各种方法标准化。我们用【试题8 8】为例，提供两种不同的】为例，提供两种不同的 标准化方法。标准化方法。 【【IMO IMO 20012001/ / 2 2】设 】设a a, ,b b, ,c c为正实数，证明：为正实数，证明： a a a a  8bc8bc 2 2   b b b b  8ca8ca 2 2   c c c c  8ab8ab 2 2   1 1( (2 2 5 5) ) 即在《即在《2.22.2 代数换元代数换元》中的【试题》中的【试题 1313】】 。。 【解析】采用换元：【解析】采用换元：x x   a ab bc c ，，y y  ，，z z   a a  b b c ca a   b b  c ca a  b b c c 将将( (2 2 5 5) )式化为：式化为：xf xf( (x x2 2 8 8yzyz) )  yf yf( (y y2 2 8zx8zx) )  zf zf( (z z2 2 8xy8xy) )  1 1 ①① 其中，其中， f f ( (t t) )   1 1 t t . . 既然既然 f f ( (t t) )在正实数区间是向下凸函数， 在正实数区间是向下凸函数，且且x x   y y  z z   1 1，，我们采用加权琴生不我们采用加权琴生不 等式得：等式得： xfxf( (x x2 2 8 8yzyz) )  yf yf( (y y2 2 8zx8zx) )  zf zf( (z z2 2 8xy8xy) )  f f ( (x x( (x x2 2 8 8yzyz) )  y y( (y y2 2 8zx8zx) )  z z( (z z2 2 8xy8xy)) )) 注意到：注意到： f f ( (1 1) )   1 1，既然本函数是严格递减函数，由上式就足以证明： ，既然本函数是严格递减函数，由上式就足以证明： 1 1  x x( (x x2 2 8 8yzyz) )  y y( (y y2 2 8zx8zx) )  z z( (z z2 2 8xy8xy) ) ②② 采用采用x x   y y  z z   1 1，使②式齐次化得：，使②式齐次化得： ( (x x  y y  z z) )3 3  x x( (x x2 2 8 8yzyz) )  y y( (y y2 2 8zx8zx) )  z z( (z z2 2 8xy8xy) ) ③③ 易看出：易看出： ( (x x  y y  z z) )3 3  x x( (x x2 2 8 8yzyz) )  y y( (y y2 2 8zx8zx) )  z z( (z z2 2 8xy8xy) )   3 3[ [x x( (y y  z z) )2 2  y y( (z z  x x) )2 2  z z( (x x  y y) )2 2] ]  0 0 ④④ 因此，③式成立，即②式成立，故①式成立。证毕。因此，③式成立，即②式成立，故①式成立。证毕。 在上面的解法中，我们利用在上面的解法中，我们利用x x   y y  z z   1 1将之标准化。下面我们利用将之标准化。下面我们利用xyz xyz   1 1来 来 标准化。标准化。 第第 1 1页页 对对( (2 2 5 5) )式，采用换元：式，采用换元：x x   1 1 1 1 8x8x   bcbc a a ，，y y   2 2 1 1   caca b b2 2 ，，z z   abab c c2 2 . . 则则xyz xyz   1 1，不等式变为： ，不等式变为： 1 1 1 1 8z8z1 1 8 8y y   1 1 ⑤⑤ 去分母得：去分母得：  ( (1 1  8x8x)( )(1 1  8 8y y) )  ( (1 1  8x8x)( )(1 1 8 8y y)( )(1 1 8z8z) ) ⑥⑥ cyccyc 两边平方后化简得：两边平方后化简得：8 8( (x x   y y  z z) )  2 2 ( (1 1  8x 8x)( )(1 1 8 8y y)( )(1 1 8z8z) ) 1 1 8x8x   510510 cyccyc 由于由于xyz xyz   1 1，所以 ，所以x x  y y  z z   3 33 3xyz xyz   3 3， ， 8 8 ( (1 1 8x8x)( )(1 1 8 8y y)( )(1 1 8z8z) )  9x9x9 9 8 8  9 9y y9 9 8 8  9z9z9 9  9 93 3， ，  1 1  8x8x    cyccyccyccyc 8 8 9x9x9 9  4 4 9 9( (xyzxyz) )2727  9 9 利用这三个不等式，就可得到上面的结果。利用这三个不等式，就可得到上面的结果。 【【IMO IMO 19831983/ /6 6】设 】设a a, ,b b, ,c c为一个三角形的三个边长，证明：为一个三角形的三个边长，证明： a a2 2b b( (a a b b) ) b b2 2c c( (b b c c) ) c c2 2a a( (c c a a) )  0 0 本题就是《本题就是《1.11.1 拉维换元》中的【试题拉维换元》中的【试题 2 2】】. . 【解析】采用拉维换元：【解析】采用拉维换元：a a   y y  z z，，b b   z z   x x，，c c   x x  y y，且，且x x, , y y, ,z z   0 0，， 代入不等式得：代入不等式得：x x3 3z z  y y3 3x x  z z3 3y y   x x2 2yz yz  zyzy2 2z z   xyzxyz2 2 x x2 2y y2 2z z2 2 即：即：     x x  y y  z z ①① y yz zx x 既然①式是齐次化的，我们将注意力集中到既然①式是齐次化的，我们将注意力集中到x x   y y  z z   1 1的情况。的情况。 ①式即：①式即：y y( ( ) )2 2  z z( () )2 2  x x( (