浅谈一元函数极限的求解方法

浅谈一元函数极限的求解方法 专业名称： 班级： 学生姓名： 指导教师： 完成时间： 1 目录 内容摘要 .3 关键词 .3 Abstract .3 Key Words 3 0引言 4 1一元函数极限的基本概念 4 1.1 一元函数极限的定义.4 1.2 一元函数极限的性质 5 2 求一元函数极限极限的方法 .5 2.1 利用定义求极限 5 2.2 利用单侧极限求极限 7 2.3 利用双侧极限 7 2.4 利用迫敛性定理求极限.8 2.5利用两个重要极限 .8 2.6 利用函数极限的四则运算求极限 9 2.7利用洛必达法则 10 2.8 用单调有界原理求极限 .12 2.9 利用柯西准则求极限 .12 2.10 利用等价无穷小量代替求极限 13 2.11 利用函数连续性求极限 14 2.12 用导数定义求极限 14 2.13 利用中值定理求极限.15 结束语 17 参考文献 17 致谢 19 2 内容摘要：内容摘要： 本文简单介绍了一元函数极限的基本概念及其性质并系统地介绍了利 用定义、两个重要极限、无穷小量、泰勒公式、洛必达法则、迫敛法则、四则运 算法则、双侧极限、综合方法等 9 种常用求一元函数极限的方法,并结合实际问 题对各个方法进行了详细的举例说明. 关键词：关键词：极限;方法;函数;泰勒公式 Abstract:Abstract: This paper briefly introduces the basic concept of limit of binary and its properties are introduced in a systematic way using the definition,twoimportantlimits,infinitesimal,Taylorula, L’Hospital Rule, forced convergence rule, four arithmetic operations, bilateral limit, the synthetic of nine kinds of commonly used for a limit of binary function , and the combined with the practical problems of various s were detailed examples. Key WordsKey Words : : limit; ; function; Taylor ula 3 0 0引引言言 高等数学是以函数为研究对象 ,以极限理论和极限方法为基本方法 ,以微积分学 为主要内容的一门学科,极限理论和极限方法在这门课程中占有极其重要的地位. 高等数学许多深层次的理论及其应用都是极限的延拓和深化,如连续、导数、微 积分等等都是由极限定义的,离开了极限的思想高等数学就失去了基础失去了价 值,因此极限运算是高等数学的基本运算 .由于极限定义的高度抽象使我们很难 用极限定义本身去求极限 ,又由于极限运算分布于整个高等数学的始终 ,许多重 要的概念是由极限定义的.极限知识是研究导数、 各种积分、级数等的基本工具. 反过来,我们也可以利用这些概念来求一些极限,所以运算方法繁多.针对这种情 况,本文通过立体归纳总结出了如下常见的求极限的方法. 1 1一元函数极限的基本概念一元函数极限的基本概念 1.11.1 一元函数极限的定义一元函数极限的定义 （a)有定义,A是一个确定的数 ,若(1) 函数f (x)在点x  a的空心邻域U0 对 0,存在 0,使得当0 xa 时,都有f (x) A ,则称x趋向于a时 极限存在,且以A为极限,记作lim f (x)  A. xa (2) 函数f (x)是U()(或U()或U())上的函数,A是一个确定的数 , 若 0,总存在M  0,使得当x  M（或x  M或X  M）时,都有 f (x) A ,则称函数f (x)当x趋于（或或）时极限存在,并以A为极 限,记为lim f (x)  A（或lim f (x)  A或lim f (x)  A. x+xx 00(a, )（或U  (a, )）(3) 若函数f (x)在U  内有定义,A是一个确定的常数, 若 0,总存在 0,使当a  x  a(或a x  a)时,都有f (x) A , 则称函数f (x)在x趋于a(或a)时右 （或左） 极限存在,并以A为右 （或左极限） , 4 记 作limf (x)或f (x)  A( 或lim f (x)  A). 有 时 也 记 作f (a0)  lim + xaxaxa f (a0)  lim f (x).  xa 1.21.2 一元函数极限的性质一元函数极限的性质 (1) 唯一性若lim f (x)存在,则它只有一个极限. xa (2) 局部有界性若lim f (x)存在,则f (x)在a的某个空心邻域U0(a)内有 xa 界. (3) 局部保号性若lim f (x)  A  0(或0),则对任意正数r(0 r  A), xa 存在 a的某一空心邻域U0(a),使对xU0(a),恒有f (x)  r  0或f (x)  r  0. (4) 保不等式性若lim f (x)  A,limg(x)  B,且有  0,f (x)  g(x), xaxa xU0(a, )成立,则A B,即lim f (x)  limg(x). xaxa (5) 迫敛性若lim f (x)  limg(x)  A,且有  0,f (x)  h(x)  g(x), xaxa xU(a, ),则limh(x)  A. xa 2 2 求一元函数极限极限的方法求一元函数极限极限的方法 2.12.1 利用定义求极限利用定义求极限 定义 2.1.1 0 设f在点x  a的空心邻域U a有定义,A 为定数。若对于 任给的 0,存在 0,使得当0 | xa|时有| fx A|，则称函数f当x 趋于a时,以 A 为极限,记作 lim fx A或fx Ax  a. xa 定义 2.1.2设 f 为定义在[a,+∞)上的函数,A 为定值,若对任给正数,存 5 在正数 M(≥a) x , 使得当 x﹥M 时有|fx-A|M 改为 x M， 2 12 存在 1  x 1  n M,x 2  n M ，2  使得 sin x 1 sin x 2 1 1   , 2 x 则由柯西准则可知limsin x不存在. 2.102.10 利用等价无穷小量代替求极限利用等价无穷小量代替求极限 所谓等价无穷小量即当x  x时,fx与gx均为无穷小量,若lim 称fx与gx是x  x时的等