浙教版八年级三角形及特殊三角形总复习概要

教学重点教学重点特殊三角形解题方法 教学难点教学难点特殊三角形解题方法 三角形的初步认识三角形的初步认识 知识要点：知识要点： 1.1 认识三角形 ①由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。 “三角形” 用符号“△” 表示，顶点是 ABC 的三角形记做“△ABC”读作“三角形 ABC” 。 由两点之间线段最短，可以得到如下性质：三角形任何两边的和大于第三边。 ②三角形三个内角的和等于180°。 三角形按角进行分类： （注意要着重搞清各类三角形的特征。 ） 锐角三角形——三个角都是锐角。 三角形直角三角形——有一个角是直角。 （记作 Rt△ABC） 钝角三角形——有一个角是钝角。 由三角形一条边的延长线和另一条相邻的边组成的角，叫做该三角形的外角。 三角形的一个外角等于和它不相邻两个内角的和。 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。 1.2 三角形的平分线和中线 在三角形中，一个内角的角平分线与它对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的三角 形的平分线。 在三角形中，连结一个顶点与它对边中点的线段，叫做这个三角形的中线。 1.3 三角形的高 从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高。 锐角三角形的三条高在三角形的内部，垂足在相应顶点的对边上。直角三角形的直角边上的高分 别与另一条直角边重合，垂足都是直角的顶点。而在钝角三角形中，夹钝角两边上的高都在三角形的 外部，它们的垂足都在相应顶点的对边的延长线上。 1.4 全等三角形 能够重合的两个三角形称为全等三角形。 两个全等三角形重合时，能互相重合的顶点叫做全等三角形的对应顶点，互相重合的边叫做全等三角 形的对应边，互相重合的角叫做全等三角形的对应角。 “全等”可用符号“≌”来表示。 全等三角形的性质：全等三角形对应边相等，对应角相等。 1 1.5 三角形全等的条件 ①三边对应相等的两个三角形全等（简写成“边边边”或“SSS” ） 。 当三角形三边长确定是，三角形的形状、大小完全被确定，这个性质叫做三角形的稳定性，这是三角 形特有的性质。 ②有一个角和夹这个角的两边对应相等的两个三角形全等（简写成“边角边”或“SAS” ） 。 垂直于一条线段，并且平分这条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线，简称中垂线。 线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等。 ③有两个角和这两个角的夹边对应相等的两个三角形全等（简写成“角边角”或“ASA” ） 。 有两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（简写成“角角边”或“AAS” ） 。 角平分线上的一点到角两边的距离相等。 1.6 作三角形:在几何作图中，我们把用没有刻度的直尺和圆规作图，简称尺规作图。 特殊三角形特殊三角形 知识归纳知识归纳 1. 等腰三角形：两条边相等的三角形叫做等腰三角形。相等的两边叫做腰，另一边叫做底边，两腰的 夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。 2. 等腰三角形的“三线合一”性——顶角平分线；底边中线；底边高 【注意】等腰三角线的对称轴是“三线”所在的直线，也是底边的中垂线 3. 等腰三角形的画法 （1）任作一线段为等腰三角形的底； （2）分别以此线段的两端点为圆心，以腰长为半径画弧，两弧的交点即为三角形的顶点。 4. 三角形的分类 （1） （2） 2 5. 等腰三角形的性质 （1）两腰相等； （2）两底角相等（等边对等角，等角对等边） ； （3） “三线合一” ； （4）轴对称； （5）两腰上的中线相等； （6）两底角的平分线相等； （7）两腰上的高相等； （8）底边的一半＜腰长＜周长的一半； 6. 等腰三角形的判定 （1）两角相等； （2）两边相等； （3）两边上中线相等； （4）一边的中线垂直这条边（平分这条边的对角） ； （5）一个角的角平分线垂直于这个角的对边（平分对边） ； （6）两个角的角平分线相等； （7）一边上的高平分这条边（平分这条边的对角） ； （8）两条高相等； 7. 等边三角形：三边相等的三角形叫等边三角形（正三角形） 。等边三角形是特殊的等腰三角形，具 有等腰三角形所有的性质。 8. 等边三角形的性质 （1）三边相等，三个角都相等（都为60°） ； （2）轴对称性； 9. 等边三角形的判定 （1）三边相等； （2）三个角相等； （3）有一个角是 60°的等腰三角形； 10. 等边三角形的作法 （1）作线段等于等边三角形的边长； （2）分别以此线段的两端点为圆心，以边长为半径画弧，两弧交于一点； （3）分别连此交点与已画线段的两端点。 3 11. 直角三角形：有一个角是直角的三角形。用“Rt△”表示。 等腰直角三角形：两条直角边相等的直角三角形叫等腰直角三角形。 12. 直角三角形的性质 （1）两锐角互余； （2）30°角所对的直角边等于斜边的一半（及其逆定理） ； （3）斜边上的中线等于斜边的一半； （4）勾股定理： 13. 直角三角形的判定 （1）有一个角为直角； （2）两角互余； （3）勾股定理的逆定理； （4）一边上的中线等于这边的一半； 14. 勾股定理的变形 15. 直角三角形全等的判定方法 （1）SAS （2）SSS （3）ASA （4）AAS （5）HL（斜边、直角边） ：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。 练习巩固练习巩固 一选择题 1. 等腰三角形一底角为30°,底边上的高为9cm,则腰长为___cm．（） A.3B.18C.9D.9 3 4 2. 等腰三角形的一个角等于20°, 则它的另外两个角等于: （） A.20°、140°B.20°、140°或80°、80°C.80°、80° D.20°、80° 3. 等腰三角形一腰上的高与底所夹的角等于［］ A.顶角 B.顶角的 11 C.顶角的 2 倍 D 底角的 22 4. 如图已知: AB＝AC＝BD, 那么∠1与∠2之间的关系满足（） A.∠1＝2∠2 B.2∠1＋∠2＝180° C.∠1＋3∠2＝180° D.3∠1－∠2＝180° 5.等腰三角形中的一个角等于 （A），（B） ，则另两个内角的度数分别为（） ， （C），（D），或， 6.在下列命题中，正确的是（） （A）等腰三角形是锐角三角形（B）等腰三角形两腰上的高相等 （C）两个等腰直角三角形全等（D）等腰三角形的角平分线是中线 7．已知等腰三角形的一边长为 （A） 8．在 （A） （C） 9．在 （A） （C） 中， （B） 中， ，另一边长为 （C） ，若 （B） （D） ，若 （B） （D） ，则它的周长为（） （D）或 的周长为 24，则的取值范围是（） 的周长为 24，则的取值范围是（） .则腰长为（）10.等腰三角形底边长为 （A） 二填空题 （B） ，一腰上的中线把其周长分为两部分的差为 （C）或（D）以上答案都不对 5 3 ，底边等于 12cm，则三角形的周长为 cm 4 1.等腰三角形的腰长是底边的 2. P 为等边△ABC 所在平面上一点,且△PAB,△PBC,△PCA 都是等腰三角形,这样的点 P 有_______个. 3. 在等腰△ABC中, AB＝AC, AD⊥BC于D, 且AB＋