种群增长模型

楚雄师范学院楚雄师范学院 20132013 年首届“雁峰杯”数学建模竞赛论文年首届“雁峰杯”数学建模竞赛论文 题题目目种群增长规律模型 队员队员 1 1 2 2 3 3 20132013 年年 5 5 月月 2626 日日 姓名姓名 陈志明陈志明 阮秀婷阮秀婷 刘大成刘大成 系别系别 数学系数学系 数学系数学系 数学系数学系 专业专业 数学与应用数学数学与应用数学 数学与应用数学数学与应用数学 数学与应用数学数学与应用数学 班级班级 20102010 级级 2 2 班班 20102010 级级 1 1 班班 20112011 级级 1 1 班班 种群增长规律模型 摘要：某个自然环境中只有一种生物的群体（生态学上称种群）生存时，人们 常用 Logistic 模型来描述这个种群数量的演变过程。而且一个种群就不存在相 互竞争、相互依存或是弱肉强食的关系。本文在 Logistic 模型基础上，根据种 群数量的统计数据，建立种群指数增长模型，并利用 Matlab 这一数学软件对所 统计的数据进行拟合，最后对模型进行分析和评价。 关键词：Logistic 模型 生物种群指数增长 Matlab 软件 一、问题重述 在某个地区生长着一个种群（一类生物群落） ，主要依靠自然资源存活并繁 殖，假设该种群单位时间的增长量与其数量成正比。一个动物学家在 2012 年对 该种群进行了追踪研究，每月观察一次，并通过科学的方法获得了如下数据 10 日期1 月2 月3 月4 月5 月6 月7 月8 月9 月 月 种群数量 26324048597389108133163 （只） 1112 日期 月月 种群数量 198242 （只） 请通过一定的简化假设建立该种群增长的数学模型，并预测 2013 年 3 月该种群 的数量。假设该地区最多只能容纳该种群 2000 只，请计算出该种群达到最大容 量的大概时间。 二、问题分析 种群的数量随时间变化而变化，根据统计数据绘出曲线图如图 1。 ZQSL 280 240 200 160 120 80 40 0 2012Q12012Q22012Q32012Q4 图表 1 种群数量的动态变化 由图表 1 所绘曲线图可知种群的数量变化趋势大致成指数曲线增长， 类似于其他 生物种群数量的动态变化趋势。对于生物种群的这种指数曲线的动态变化趋势， 往往用 Logistic 模型来描述，并且根据种群的统计数据利用 Matlab 软件处理。 利用所得的模型对以往种群的数量进行推算预测，可检验模型的精确度，以便对 模型进行改进。 1 三、模型假设 1、假设环境环境条件允许生物种群数量有一个最大值，即环境容纳量 N，当种 群数量达到环境最大容纳量时，种群数量不再增长； 2、种群数量的增长简单利用固有增长率 r 来描述； 3、种群中每个个体处于同一水平，在种群增长的过程中隔天到差异如年龄结构 等个不予考虑； 4、在所研究地区只考虑区域内部的种群数量，不考虑种群在区域间的迁入与迁 出； 5、种群总数是随时间连续变化的。 四.符号说明 t :时间； x(t)：种群在 t 时的数量； r :种群的固有增长率； N ：种群的最大数量； 五.模型的建立与求解 根据模型的假设，在最大容量为 2000 只，种群生长不受其他任何条件的限 制， 也就是说食物等能充分满足种群需求的情况下，种群就能充分发挥其增长能 力，数量迅速增加，呈现指数增长规律，也称为“J”型增长，这种增长变化的 曲线如图表 2 所示 ZQSL 280 240 200 160 120 80 40 0 2012Q12012Q22012Q32012Q4 图表 2 种群数量散点图 2 种群在有限环境中的增长不是“J”型，而是“S”型，但因为在较大的空间 容量， 以及不考虑其它因素的情况下， 种群在有限环境中的增长也可以看做是 “J” 型增长，即符合“S”型增长曲线的 logistic 模型是同等的。 对于 logistic 数学模型： dxx  rx(1)（1） dtN 用分离变量法可以求解得： N x(t) （2） 1cert 为了能用最小二乘求拟合 c 和 r 的值，对（2）式进行变化得： N  x(t)  cert（3） x(t) 其中，假设Y t  N  x(t) x(t) 即（3）式变为Y t  cert（4） 计算出 t、x(t)、Y t 的关系列表，以便用最小二乘求拟合 c 和 r 的值： 时间（t） 种群数量 x(t) Y(t) 时间（t） 种群数量 x(t) Y(t) 1 26 75.923 7 89 2 32 61.5 8 108 3 40 49 9 133 4 48 10 163 5 59 11 198 9.101 6 73 12 242 7.264 40.66732.89826.397 21.47217.51914.03811.27 根据以上数据点，利用最小二乘求拟合Y t  cert，首先求解 E（r,c）的最 小值： 2（cer75.923） (ce2r61.5)2 (ce3r 49)2 (ce4r 40.667)2E(r,c)=  (ce5r32.898)2 (ce6r 26.397)2 (ce7r 21.472)2 (ce8r17.519)2  (ce9r14.038)2 (ce10r11.270)2 (ce11r9.101)2 (ce12r7.264)2 使用 matlab 中的 fmins 命令求解最小化 E（r,c）后的r 和 c 的近似值。在 matlab 中定义 E（r,c）为一个 M 文件。 function z=E(u) r=u(1); c=u(2); z=(c.*exp(-r)-75.923).^2+(c.*exp(-2*r)-61.5).^2+(c.*exp(-3*r)-49).^2+(c.*exp(-4*r)-40.667).^2+ (c.*exp(-5*r)-32.898).^2+(c.*exp(-6*r)-26.397).^2+(c.*exp(-7*r)-21.472).^2+(c.*exp(-8*r)-17.51 9).^2+(c.*exp(-9*r)-14.038).^2+(c.*exp(-10*r)-11.27).^2+(c.*exp(-11*r)-9.101).^2+(c.*exp(-12*r )-7.264).^2; 3 使用 fmins 命令和初始值 r=1.0 和 c=1.0，可得 fmins( E ,[1,1]) ans =0.210893.6122 即拟合后的r=0.2108, 即拟合后的c=93.6122,故可以得到种群在t时刻的数量模 2000 型为：x(t)  （5） 0.2108t193.6122e 为了验证我们最终计算式的准确性，我们采用对比的方式分别把前 12 个月 的时间 t 带入到最终计算式（5）中，得到与实际值的比较。 时间时间 （（t t）） 计算值计算值实际值实际值两者差两者差误差率误差率 1262600.00% 2323200.00% 339.440-0.6-1.