平面向量的坐标表示

第7章 平面对量的坐标表示 1.理解向量的有关概念 〔1〕向量的概念：既有方向又有大小的量，留意向量和数量的区分； 〔2〕零向量：长度为零的向量叫零向量，记作：，留意零向量的方向是随意方向； 〔3〕单位向量：给定一个非零向量，与同向且长度为1的向量叫的单位向量, 的单位向量是； 〔4〕相等向量：方向与长度都相等的向量，相等向量有传递性； 〔5〕平行向量〔也叫共线向量〕：假如向量的基线相互平行或重合那么称这些向量共线或平行，记作： ∥，规定零向量和任何向量平行； 提示：①相等向量肯定是共线向量，但共线向量不肯定相等； ②两个向量平行与两条直线平行是不同的两个概念：两个平行向量的基线平行或重合, 但两条直线平行不包含两条直线重合； ③平行向量无传递性！〔因为有)； ④三点共线共线； 〔6〕相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量，的相反向量是长度相等方向相反的向量. 〔1〕几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如，留意起点在前，终点在后； 〔2〕符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如，，等； 〔3〕坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，以与轴、轴方向一样的两个单位向量，为基底，那么平面内的任一向量可表示为，称为向量的坐标，叫做向量的坐标 表示，假如向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标一样. 3．实数与向量的积： 实数与向量的积是一个向量，记作，它的长度和方向规定如下： 〔1〕； 〔2〕当时，的方向与的方向一样；当时，的方向与的方向相反；当时，零向量，留意：. 4．平面对量的数量积： 〔1〕两个向量的夹角：两个非零向量和，过O点作，，那么∠AOB＝θ (0°≤θ≤180°) 叫做向量与的夹角．当θ＝0°时，与 同向；当θ＝180°时，与反向；假如与的夹角是90°，我们说与垂直，记作． 〔2〕两个向量的数量积的定义：两个非零向量与，它们的夹角为θ，那么数量叫做与的数量积〔或内积〕，记作，即＝．规定零向量与任一向量的数量积为0．假设，那么＝． 〔3〕向量的数量积的几何意义： 叫做向量在方向上的投影 (θ是向量与的夹角)． 的几何意义是，数量等于模与在上的投影的积． 〔4〕向量数量积的性质：设与都是非零向量，是单位向量，是与的夹角． 当与同向时，＝；当与反向时，＝-, ＝; ⑸ ||≤． 〔5〕向量数量积的运算律： 【提示】 〔1〕假设那么为锐角或者角假设那么为钝角或者角. 〔2〕||＝可以用来证明. 〔3〕非零向量，夹角的计算公式：. (4)||. ⑴＝ ； ⑵＝ ＝ ⑶＝ 5. 平面对量的根本定理：假如和是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量，有且只有一对实数、，使=，、称为一组基底. 6．向量的运算： 〔1〕几何运算： 〔据此，可依据须要在一个向量的两个端点之间随意插点〕 ①向量加法：利用“平行四边形法那么〞进展，但“平行四边形法那么〞只适用于不共线的向量，除此之外，向量加法还可利用“三角形法那么〞：设，那么向量叫做与的和，即； ②向量的减法：用“三角形法那么〞：设，那么由减向量的终点指向被减向量的终点. 简单得出：． 〔2〕坐标运算： 设，那么： ① 向量的加减法运算：； ② 实数与向量的积：； ③ 假设，那么，即一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标； ④ 平面对量数量积：=；⑤ 向量的模：； 7．向量的运算律： 〔1〕交换律：，，=； ( 2 ) 结合律：，； 〔3〕安排律：，，. 8. 向量平行(共线)的充要条件： (1) 向量与非零向量共线的充要条件是；实数λ是唯一存在的， 当与同向时，；当与异向时，； (2) 假设,，那么． 9．向量垂直的充要条件：=． 向量中一些常用的结论： 〔1〕一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量，要留意运用； 〔2〕，特殊地， 当同向或有； 当反向或有； 当不共线 (这些和实数比拟类似). 〔3〕在中，①假设，那么其重心的坐标为. ②为的重心， 特殊地为的重心； ③为的垂心； ④向量所在直线过的内心(是的角平分线所在直线)； ⑤是的外心； 〔4〕向量中三终点共线存在实数使得且. 向量的坐标表示及其运算 例题精讲 【例1】分别是△和△的重心，是的中点，假设A,B,C,D的坐标分别是 ，求点的坐标． 【例2】点O〔0，0〕，A〔1，2〕，B〔4，5〕及=+t， 求：〔1〕t为何值时，P在x轴上？P在y轴上？P在其次象限? 〔2〕四边形OABP能否构成平行四边形？假设能，求出相应的t值；假设不能，请说明理由． 过关演练 1．，，假设，那么的值分别为_________． 2．向量，，假设，那么_________． 3．平行四边形的顶点、、，那么顶点的坐标为_________． 4．假设向量，，那么向量的坐标是_________． 5．假设，，且，那么等于_________． 6．假设为的重心，那么以下各向量中与共线的是〔 〕 A． B． C． D． 7．在矩形中，，，那么向量的长度等于〔 〕 A． B． C． D． 8．在中，、、分别为边、、的中点，点坐标为，点坐标为，点坐标为，那么点坐标为____________． 9．，，当与共线时，的值为____________． 10．当______时，向量与共线且方向一样；当_____时，与共线且方向相反． 11．假设三点，，共线，那么____________． 12．设，，，用、作基底有，那么______，________． 13．点在向量所在的直线上，那么所满意的条件是___________． , (1)假设点在线段上,且那么点的坐标是 ; (2)假设点在线段的延长线上,且那么点的坐标是 ; (3)假设点在线段的延长线上, 那么点的坐标是 ; (4)假设点在线段的延长线上, , 那么点的坐标是 . 15．以下四个命题：①假设，那么或；②假设为单位向量，那么；③；④假设与共线，与共线，那么与共线．其中错误命题的序号是___________． 16．、、，且，那么当________时，点落在轴上． 17．，是两个非零向量，那么“，不共线〞是“〞的____________． 18．以下四个命题中是真命题的有____________个． ①假设与是共线向量，那么与也是共线向量 ②假设，那么与是共线向量 ③假设，那么与是共线向量 ④假设，那么与任何向量都共线 19.在中,设向量，