会考复习学案之11解三角形
2013高中数学会考复习(^一) 解三角形 【知识回顾】 一、正弦定理和余弦定理 定理 正弦定理 余弦定理 内容 a ___ c sin A sin B sin _ (R表示AABC外接圆的半径) a2 =b2 +c2 - 2bc cos A, b2 = c2 = 变形 形式 ① 角化边 a=2RsinA ; b= ; c= ; ② 边化角 sinA=-^-, sinB= , sinC=; 2R ③ a:b:c二sinA: sinB: sinC; 与a+b+cq+c a+b ④ === sin A + sin 8 +sin Csin A cos A = n a2 +c2-b2 cos B =; 2ca cos C =. 解决 的问 题 ① 已知两角和任一边,求另一角和其他两条边; ② 已知两边和其中一边的对角,求另一边和其他两 角。 ① 已知三边,求各角; ② 已知两角和它们的夹角,求第 三边和其他两个角。 n h 注:在△ ABC 中,sinA>sinB 是 A>B 的充要条件。(•.•sinA>sinBu>>U>a>bU>A>B) 2R 2R 二、重要结论:(1)三角形内角和定理:A+B+C=〃 (2) 三角形中角的变换:sin(A + 5) = sinC, cos(A + B) = - cosC, tan(A + B) = - tanC, .A+BCA+B. C sin= cos 一,cos= sin 2222 (3)三角形中的边角关.系:三角形中等边对等角,大边对大角,反之亦然; 三角形中任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边。 (4)三角形的形状:①若a2 +b~ >c2时,角。是锐角;②若时,角。是直角; ③若a2 +b2 B>C sinA>sinB>sinC; 三、△ ABC的面积公式 (1) 5A = — aha= — bhb= — chc (知、hb> 分别表示。、b、c 上的高); 222 111nhc (2) S = —ab sinC = —acsinB = —be sin A =(R为外接圆半径); 22247? S = —r(<7+Z? + c)(r为内切圆半径) (3) 2; 【题组自测】 考点1:正、余弦定理的应用 1、在 A ABC (1)若 b=V2 , c=l, B=45°,求边 a 及角 C 的值;(2)若 A=60°, a=7, b=5,求边 c; (3)若 a=7, b=3, c=5,求最大角和 sinC. 考点2:三角形形状的判定 2、(1)在 AABC 中,已知2sin AcosB = sinC ,那么 AA3C 一 定是() A.直角三角形 B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.正三角形 (2)在AABC 中,若 2cosBsinA = sinC,则△ABC 的形状一定是() A.等腰直角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等边三角形 3、(1)在 AABC 中,若sin2A = sin2B + sin2c,判断 AA3C 的形状; (2)在AABC 中,若 a cos A + bcos B - ccosC,判断ZiABC 的形状。 考点3:与三角形面积有关的问题 4、(1)在ZXABC 中,AB = yf3 ,AC = 1, ZA=30° ,求Z\ABC 面积. (2) 在 AAfiC 中,力=8, c = 80, S abc =16也,求 ZA。 (3) 在四边形 A3CQ 中,ZA = 120°, /B = /D=90°, BC = 5,CD = S,求四边形 ABCD 的面 积S。 考点4:正、余弦定理实际应用 5、如图一个三角形的绿地ABC, A3边长7米,由C点看A3的张角为45°,在AC边上一点。处 看A3得张角为60°,且AD = 2DC ,试求这块绿地的面积。b 【典例分析】 TT 例1.在△ ABC中,内角A B 。对边的边长分别是a, b c,已知c = 2, C =—. 3 (I )若ZXABC的面积等于后,求a, b ; (II)若sinC + sin(B-A) = 2sin2A ,求△A3C 的面积. 彳列2.在海岸A处,发现北偏东450方向,距A处(右―Dnmile的B处有一艘走私船,在A处北 偏西75°的方向,距离A处2n mile的C处的.缉私船奉命以10后n mile/h的速度追截走私船。此时,走私船正以10n mile/h的速度从B 处向北偏东300方向逃窜,问缉私船沿什么方向能最快追上走私 船? 【自主落实,不懂则问】 1. 在AABC中, a =15, Z? = 10, A = 60° ,则 cos B = 2. 3. a2-c +b2 =ab ,则 C = 4. 在ZXABC中, 若a = 7,= 3,c = 8,则其面积等于( 5. A. 12 21 B.— 2 C. 28 D. 6^3 在ZXABC中, ^a2 —b2 = y/3bc, sin C = 2a/3 sin B , 则A=( (A) 30° (B) 60° (C) 120° (D) 150° 已知a = 8, 3 = 60。,C = 75°,则b的值为 6. 若△ABC 的三个内角满足 sinA:sin3:sinC = 5:11:13 ,则 ^ABC () (A) 一定是锐角三角形. (C) 一定是钝角二角形. (B) 一定是直角二角形. (D)可能是锐角二角形,也可能是钝角二角形. 7. 已知A船在灯塔C北偏东85°且A到C的距离为2km, B船在灯塔C西偏北25°且3到C的距离 为 J^km ,则 A, 3 两船的距离为()A. 2^3 km B. 3a/2 km C. V15 km D. Jl^km 8. 在 AABC 中,若 b = 1, c = j3, C =—,则 a =. 3 9, 如图,在^ABC中,Q是边AC上的点, 且 AB = AD,2AB = ^3BD,BC = 2BD ,则 sin C 的俏为 。\ A DC 10 .在ZkABC 中,AB=1 ,BC=2, B=60°,则 AC=. _ . A _ , 4、十 a bzcosB cos 11. 在AABC 中,求证:=c(). b a b a 12. 在△ABC中,角A, 5,C所对的边分别为a,b,c ,已知a = 2, c = 3, cos B =—. 4 (I)求人的值; (II)求sinC的值. 13. 设锐角三角形ABC的内角& B C的对边分别为。,b c, a = 2bsmA (I)求8的大小;(II)求cos A + sin C的取值范围.