优秀教案双曲线及其标准方程
高中青年数学教师优秀课教案:双曲线及其标准方程(一) 高中青年数学教师优秀课教案:双曲线及其标准方程(一) 教学目标: (1)知识与技能:与椭圆定义类比,深刻理解双曲线的定义并能独立推导出双曲线标准 方程; (2)过程与方法:通过定义及标准方程的深刻开采与探究,使学生进一步体验认识类比 发现及数形结合等思想方法的运用,提高学生的不雅察与探究能力; (3)情感态度与价值不雅:通过教师指导下的学生交流探索勾当,发学生的学习兴趣, 培养学生用联系的不雅点认识问题。 教学重点:双曲线的定义、标准方程及其简单应用 教学难点:双曲线定义中关于绝对值,2a0)。 师:在椭圆里到两个定点的间隔的和这个常数是正数,那么,最简单的面内到两定点的差 这个常数还一■定是正数吗 生:不一定。 师:多是什么数呢?(学生甲回答:是正数,负数或零)师:当常数是零时动点的轨迹是 什么? 生:是线段F1F2的中垂线。老师做出的中垂线。 师:当常数是正数时的点的位置在什么地方? 生:在线段F1 F2的中垂线的右侧。 师:当常数是负数时的点的位置在什么地方?生:在线段F1F2的中垂线的左侧。 师:最简单的面内与两个定点的间隔之差等于非零常数的点的轨迹究竟是是什么呢?我们 一路做一个实验来探索。 2、实验:(师生共同完成) 道具:一根拉链 详细作法:老师在拉开的拉链双侧各取一点打结(实验前已经丈量好,使两结之间的间隔小 于两定点间的间隔),请两位同学协助将两点别离固定在定点F1, F2处,使拉链头在的 上方。将拉链头看作动点M,使M到F1的间隔比M到F2的间隔远。 师:|MF1|比|MF2|长多少? 请同学不雅察,将此中一侧拉链拉过来比较,学生可以很清楚的看到长出的部分。在|MF1| 比|MF2|长出的地方用颜色鲜艳的小夹子做记号,在三次演示可以清楚的看到,在拉链的拉 合中拉链头M到F1的间隔与到F2的间隔差始末是夹子到F1的间隔,间隔差记为2a (2a>0),当拉链头在的下方时,两次演示在拉链的拉合中,动点拉链头M到F1的间 隔与到F2的间隔差始末是夹子到F1的间隔,即M到两定点的差始末是夹子到F1的间隔 2a。同学们通过演示不雅察得出,拉链头M到F1的间隔与它到F2的间隔的差始末是正常 数.将粉笔放在拉链头处,随着拉链的开合做出一条曲线(在作图过程中要保持将拉链拉直), 老师在图的下方板书:|MF1|-|MF2| = 2a(a>0); 调换两拉链的固定点,仍然请两位同学协助将两点别离固定在定点F1, F2处,这时候拉链 头M到F1的间隔比M到F2的间隔短,使拉链头在的上方。同样在两次演示过程中提问: |MF1|比|MF21短多少?让同学们不雅察,在拉链的拉合中,|MF1|始末比|MF2|短夹子到 F2的间隔,记为2a (2a>0),当拉链头在的下方时结果相同.同学们很容易不雅察到在 拉链的拉合过程中,拉链头到F1的间隔与它到F2的间隔的差始末是负常数,这个常数是 2a的相反数,记为-2a。将粉笔放在拉链头处,随着拉链的合开做出一条曲线(在作图过程中 要保持将拉链拉直),画出中垂线的左侧的一条曲线。 在图的下方板书:|MF1|-|MF2| = -2a(a>0)o 师:我们将这两条曲线叫双曲线,此中的一条叫双曲线的一支.在黑板上板书课题:8.3双 曲线的定义及其标准方程。 师:比较每一条曲线满足的条件,这两支曲线,即双曲线上的动点M满足的条件是什么? 生:。 老师板书(2a>0)= 3、研究2a和2c的关系. 师:最简单的面内到两定点的间隔的差的绝对值为常数的动点的轨迹一定是双曲线吗?(原 以为双曲线定义已经得到的同学们又开始思虑) 师:与椭圆类比,在椭圆里,到两个定点的间隔之和等于常数2a,只有这个常数2a大于两定 点的间隔时,动点的轨迹才是椭圆,当两个定点的间隔之和等于两定点的间隔时,动点的轨 迹是之间的线段。在双曲线里,到两个定点的间隔差2a与两定点的间隔2c之间是否也 有巨细关系呢?(同学们的视线又回到适才作出的双曲线图形上) 师:在适才所做的双曲线上任取一点M,它与构成为了三角学形,|MF1|与|MF2|的差也就 是三角学形两边的差,同学们欣喜的喊到:三角学形两边的差小于第三边,2a2c时,动点没有轨迹. 师:现在请同学们给出双曲线的准确定义. 生(自信地):最简单的面内到两定点的间隔的差的绝对值为常数(小于)的动点的轨迹叫 双曲线用投影仪展示双曲线图形及其定义,核心,焦距概念。 三、新课讲解 1、双曲线定义:最简单的面内到两定点的间隔的差的绝对值为常数(小于)的动点的 轨迹叫双曲线即,(2a〈2c)叫双曲线的核心,=2c(2c>0)叫做焦距。 强调:“最简单的面内”、“间隔的差的绝对值”、“常数2a小于” 2、双曲线的标准方程: 师:与求椭圆的标准方程类似,我们根据双曲线的定义推导双曲线的标准方程。求曲线方程 的基本步骤是什么? 生:(1)建系;(2)设点;(3)列式;(4)化简 老师在投影仪上演示求双曲线标准方程的过程中,同学们在练习本上书写求双曲线标准方程 的过程。提醒同学们需要注意(1 )紧紧抓住双曲线定义列式;(2)在化简 到,结合双曲线定义中2a<2c,则c2-a2是正数,与椭圆的标准方程的化简中令b2= a2-c2 对比,可以令b2=c2-a2 ,使化简后的标准方程美不雅简洁,最后得到,当核心在轴上, 核心是的双曲线标准方程是, 若坐标系的选取不同,核心在轴上,则核心是,由双曲线定义得: 师:与核心在轴的双曲线方程 比较,它们结构有什么异同点? 生:结构相同,只是字母X, y交换了位置。 师:求核心在轴上的双曲线方程,只需把核心在轴上的双曲线标准方中X, y互换即可。 得 3、双曲线的标准方程的独特的地方: (1) 双曲线的标准方程有核心在x轴上和核心y轴上两种: 核心在轴上时双曲线的标准方程为:(,); 核心在轴上时双曲线的标准方程为:(,) (2) 有关系式成立