课时作业56定点、定值、探索性问题
课时作业56定点、定值、探索性问题 基础达标演练 1. 过抛物线/=2双8>0)上一定点P3,儿)顷尹0)分别作斜率为k和一#的直线A, I2,设%,人分别与抛物线y=2px交于』,3两点,证明:直线如的斜率为定值. \y=2px, 证明:设』(为,Ji), B3,乃),由题易知样0.由〈消去x,得 Ly~y^—k x —Xo , y —^y+~7^—2/?Ab=0,由韦达定理得贝+*1=半,所以*1=半一① k kkk 同理 贝)+乃=一半,得乃=一半一 jb.② kk 由①②得Pi +乃=一2员, 所以#”=二^=峪二4=言^=—殳,故直线/月的斜率为定值. 而—X1 21_21 71十乃 Jb 2p 2p 22、体 2. 已知椭圆§+朱=1(泓>°)经过点“(M,1),离心率为3~. (1)求椭圆的标准方程; ―► ―► (2)已知点P(也0),若』,3为已知椭圆上两动点,且满足用・PB= — 2,试问直线 /夕是否恒过定点?若恒过定点,求出该定点的坐标;若不过定点,请说明理由. 解:(1)由题意得① a Z 因为椭圆经过点1),所以|+|= 1.② 又3=注+己(3) 由①②③解得3 = 8,方2 = 4=4, 所以椭圆的标准方程为M+W=l. o 4 22 ⑵①当直线如与x轴不垂直时,设直线彤的方程为y=kx+m,代入§+彳=1,消去 o 4 y,整理得(2乃+ 1)孑+4如次+2房一8 = 0. 由A >0,得8^+4—就〉0.① 设力3, 71), B3,乃), 4km 2/ —8 则为+茶=一 所以0 • PB=(击一%)(而一*) +乃乃=(为 一%)(股一*) + (kxi+ni) (kx2+ni) = (4 + l)xi及+(切一寸^) ,(Xi+脂)+6+# = —2,得(4 + 1)为宠+(如一寸^) 3+ &)+8+游=0, 即(“1);;+:+ (切-倔 2#艾:+8+/ =。, 整理得(面+ 2/£ 2 = o, 从而0=一律&满足①, 所以直线』方的方程为 故直线』方恒过定点“¥,°) ②当直线与x轴垂直时,若直线为 ,此时点4 3的坐标分别为f, ,满足PB= — 2, 此时直线x=咎也过定点“华,°) 综上,直线成?恒过定点“华,o) x V 3. (2017 •河北质量监测)已知椭圆压衬艾1的右焦点为橹0)且切>00,设短 、/3 轴的一个端点为D,原点。到直线渺的距离为十,过原点和x轴不重合的直线与椭圆E相 交于G G两点,且|依| + |伊=4. (1)求椭圆E的方程; ⑵是否存在过点夕(2, 1)的直线/与椭圆E相交于不同的两点/,方且使得0P=4PA • PB 成立?若存在,试求出直线/的方程;若不存在,请说明理由. 解:⑴由椭圆的对称性知| GF\ + | CF\=2a=4, .“=2.又原点。到直线班的距离为手, .•.勺=手,.・.勿=明,X a=b2+c=4:, a>b>c>0, . .b=\[3, c=l.故椭圆 E的方程为j+ (2)当直线1与x轴垂直时不满足条件. 故可设A(xt, 71), B3,乃),直线/的方程为y=A(x—2) + 1,代入椭圆方程得(3+4A2)/ —8A(2A—1)x~\~ 16A-2 — 16A—8=0,X\-\-x2 8k 2#—1 ~3+4乃 X1足 _16〃一16#—8 3+4乃~ ,力=32 (6# ] 一 一 一 +3)>0,•: 0尹=4PA・ PB,即 4[3—2)(而一2) + (3 —1)(乃一1)]=5, .*.4(^-2)(而 —2) (1 + 4) = 5,即 4[矛1 而一2(xi+及)+4] (1 +妙)=5, 「16尸一16#—8 8k 2k-11.2、4+4必11 ,,4L~3+4^2X 3 + 戒 +4](1 + Z)=4X^^ = 5,解k=+~, k=-~ 不符合题意,舍去•.存在满足条件的直线I,其方程为y=;x. 优生冲击名蔽 1. (2017 -江西联考)已知椭圆。的中心在原点,焦点在x轴上,离心率为半,它的一 个焦点恰好与抛物线/ = 4x的焦点重合. (1)求椭圆。的方程; (2)设椭圆的上顶点为瓦过点』作椭圆。的两条动弦AC,若直线』3, WC斜率之积 为?直线方。是否一定经过一定点?若经过,求出该定点坐标;若不经过,请说明理由. 解:⑴设椭圆。的标准方程为兰+与=1(泓>0),则eW=半,c=l,故a2 = 2, if a ba z 2 =1,椭圆。的标准方程为成+/=1. (2)由(1)知/(0,1),当直线比的斜率不存在时,设BC: x=.,设方(暨,八),则。(版, Jb 故直线俱的斜率存在.设直线位的方程为:y=kx+m(n#\),并代入椭圆方程,得: (1 + 2x + ^kmx~\~2 {in—1)=0,① 由 4 = (4切尸一8 (1+24) (/一1)>0 得 2#一/ + 1〉0.② 设方3, G,。(盼 乃),则为,*2是方程①的两根,由根与系数的关系得, 4km2 m~\ X1+x2=~T+2^ *•&= 1 + 2万, .7 j _7i~l 乃—1 1明 由 k:AB • kAC—*—;侍: Xi x2 4 4巧乃— 4(r+乃)+4 =可而, 即(4乃一 1)矛1挺+4人(成一1) 3+义2)+4(成一1)2 = 0,整理得(成一1)(成一3) =0,又因为 好1,所以勿=3,此时直线况7的方程为y=kx+3. 所以直线网恒过一定点(0, 3). 2. (2017 •西安质检)如图所示,已知椭圆。的中心在原点,焦点在x轴上,离心率等 于手,它的一个顶点恰好在抛物线/ = 8y的准线上. (1)求椭圆。的标准方程; ⑵点一(2,还),0(2,―的)在椭圆上,A,方是椭圆上位于直线用两侧的动点,当』 方运动时,满足ZAPQ= ABPQ,试问直线』3的斜率是否为定值,请说明理由. 22 解:(1)设椭圆。的标准方程为=+%=l(a>8〉0). a b •椭圆的一个顶点恰好在抛物线x=8y的准线夕=一 2上,.•・一/?=—2,解得方=2. 又f=半, a Z .•.a=4, c=2巫. x y 可得椭圆。的标准方程为-+t=1. 16 4 (2)设』(xi, yi), B3,乃), .: ZAPQ=/BPQ,则0,缪的斜率互为相反数,可设直线0的斜率为攵 则缪的斜 化为(1+4E 率为一A,直线物的方程为:y—^=k(x—2),联立W = “ x—2 l/+4y =16, +8#C\/5 — 2£x+4C\/5—2£ 2-16 = 0, .•5+2=8“.同理可得: 1十4左 ! c 一8A —2k—8k 2k-\-y[3 f =1 + 4?= -1+4? 16A2-4—16 饱r •X1 + X2=7+4F,xl&