高中数学课堂教学中生成性资源开发课例
高中数学课堂教学中生成性资源开发课例 [摘要]利用已有高中数学课堂的教学资源,开发具 有生成性的教学资源的教学课例. [关键词]生成性教学资源周期性 在人教A版必修四《1.1任意角和弧度制》的课后练习 题中有一道考察周期性的习题,经过改编成为了很好的生成 性教学资源。 一、提出问题 一位同学2004年3月21日过生日,这天正好是星期天, 那么2005年3月21日这天能否是星期天?如果不是,那么 还要经过多少年,这一年的3月21日(他的生日)又会星 期天呢?现在给出任意一年的任意一个日期,经过多少年这 一日期与原日期的星期重合? 这个问题提出后,很多同学立刻给出了第一个问题“不 是“的答案,因为2004年3月21日到2005年3月21日要 经过365天,365被7除等于52余1,所以一年后的3月21 日不是星期天。第二个问题在第一个问题解决后,有的同学 不假思索的回答是7年,而有的同学在认真思考、论证后回 答是6年,显然后一个答案是正确的,前一个答案没有考虑 每四年中有一个闰年,这一年有366天。两个问题解决完, 同学们都有些意犹未尽的感觉,第三个问题经过分组讨论, 答案集中在5年、6年、11年三个结果中,同学们各有各的 理由,但哪一个是正确的呢? 二、分析问题 答案为5年的同学,所选日期都在闰年前一年的3月1 日到闰年的2月28日这一时间段,在此时间段的日期到下 一年同一日期间隔366天,接着间隔3个365天和一个366 天,这些天数加在一起正好是7的整数倍。间隔天数为366、 365、365、365、366,可把它们看作整年,对应的年份记为 闰—平_平_平—闰。 答案为6年的同学,所选日期都在闰年的3月1日到下 一个平年的2月28日,或是从下一个平年的3月1日到第 二个平年的2月28日这两个时间段。间隔天数对应的年份 记为平-平-平-闰-平-平或平-平-闰-平-平-平。 答案为11年的同学,所选日期都在闰年后的第二个平 年的3月1日到第三个平年的2月28日。间隔天数对应的 年份记为平-闰-平-平-平-闰-平-平-平-闰-平。 原来这三个答案都正确,用数学的语言对此进行解释, 实际就是一个数学建模过程。 三、解决问题 1. 建立模型 这三个问题可抽象为一个求解不定方程的数学问题,设 经过m个闰年,n个平年后,两个相同的日期如果星期也一 致,那么它们间隔天数之和一定是7的整数倍,即求解 366m+365n=7x0关于m、n、xO的整数解的不定方程。 2. 模型化简 因为366除以7等于52余2, 365除以7等于52余1, 根据同余原理原不定方程366m+365n=7x0可简化为2m+n=7y0 的形式,其中m、n、yO是所要求的正整数解。 3. 模型假设 设闰年为第N1类年,闰年后的第二年为第N2类年,闰 年后的第三年为第N3类年,闰年后的第四年为第N4类年; 再设N1类年的3月1日到其下一年的2月28日为Ml区间, 第N2类年的3月1日到其下一年的2月28日为M2区间, 第N3类年的3月1日到其下一年的2月28日为M3区间, 第N4类年的3月1日到其下一个闰年的2月28日为M4区 间。这样除了 2月29日这一特殊日期,任一年的任一天的 日期都会找到相对应的区间。 4. 模型求解 根据模型的化简,只要考虑每两年间同一日期间隔天数 被7整除的余数,当余数的和等于7的整数倍时,就可以求 得相应的解。例如:第Ml区间内的日期到其后相同日期, 每两年间隔天数被7整除所得余数对应的数列为1, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 2,…,前六项的和等于7,则在第Ml区间的日期 最少要经过六年,星期会与原日期对应的星期相一致,此时 不定方程2m+n=7y0的解为m=l, n=5, yO=l;第M2区间内 的讨论的结果和Ml区间内的相同;第M3区间内的日期到其 后相同日期,每两年间隔天数被7整除所得余数对应的数列 为1, 2, 1, 1, 1, 2, 1, 1,…,前“一项的和等于14, 则在第M3区间的日期最少要经过十一年后,星期会与原日 期对应的星期相一致,此时不定方程2m+n=7y0的解为m=3, n=8, y0=2;第M4区间内的日期到其后相同日期,每两年 间隔天数被7整除所得余数对应的数列为2, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 1,前五项的和为7,则在第M4区间的日期最少要经 过五年后,星期会与原日期对应的星期相一致,此时不定方 程2m+n=7y0的解为m=2, n=3, yO=l; 2月29日到下一个2 月29日经过四年,经过的天数被7整除余5,是5的倍数且 能被7整除的最小正整数是35,也就是要经过7个四年后星 期相一致,此时不定方程2m+n=7y0的解为m=7, n=21, yO=50 给出任意一个日期,首先判断是属于哪个区间的,如果 在第Ml、M2区间,最少经过六年,星期相同;如果在第M3 区间,最少经过十一年,星期相同;如果在第M4区间,最 少经过五年,星期相同;如果日期是2月29日,最少经过 二十八年,星期相同。 5. 模型检验 模型求解的关键是如何将日期进行正确的分区,有的同 学是按照整年分区的,这就忽略了闰年2月29日前后到下 一年同一日期天数的变化。如在闰年,2月29日前的一天到 下一年的同一天,一定要经过366天;而2月29日后的一 天到下一年的同一天要经过365天。又因为2月29日每四 年出现一次,所以要特殊考虑。 在计算机教室,学生可以通过计算机的“日期和时间” 应用对本模型进行检验,若检验正确,说明模型成功,若检 验有误,可以再对模型进行修改,直到检验无误。 四、总结 这是一个很典型的具有生成性的教学资源,学生在解决 这个问题的过程中通过不断的探索,提出一个个新问题,课 堂教学过程呈现一个师生及多种因素间动态的相互作用的 推进过程,问题的最后解决有多种可能性存在,教学过程的 推进就是在多种可能性中作出选择,使新和状态不断生成, 并影响下一步发展的过程。存在问题,四年一闰,百年不闰, 四百年再闰利用上述模型求解连续8个平年的问题还要讨论 一些特殊年份,这个问题学生没有讨论出来,可以留作思考 问题让学生进一步的探究。 通讯作者:文香丹 [参考文献] [1]叶澜.重建课堂教学价值观[J].教育研究,2002 (5) [2]李海明.“生成性”学习需要开放式教学[J].南昌 教育学院学报,2011 (11) (作者单位:1.延边大学理学院数学系吉林延吉,2. 吉林省通化市第一中学吉林通化,3.延边大学理学院数学 系吉林延吉)