排列组合典型问题分球入盒
分 球 入 盒 问 题 高二数学组 朱育璋 分球入盒问题(球在盒子的分布情况)是概率中常见的一类题型,如: (1)生日问题:n个人的生日的可能情况(每个人生日是365天之一),相当于n个球放入N=365个盒子中的可能情况(设一年365天); (2)书籍分堆问题:6本画册分给3份,每份至少一本 (3)名额分配问题:7个参赛名额分给不同班级 (4)有n封信随机的投放在N个信筒中(筒内信数不限); 此类问题具有背景丰富,应用广泛等特点。本文旨在总结解此类题的规律,理清思路,以便更好的更快的求解问题。 例题分析 【例1】 按下列要求分配6个不同的小球,各有多少种不同的分配方式 (1)分成三份,1份1个,1份2个,1份3个; (2)甲、乙、丙三人中,一人得1个,一人得2个,一人得3个; 分析:(1)为典型无序分组问题,可分三步完成,即拿出一个做第一份,拿出2个做第二份,拿出3个做第三份,完成分组,对于(2)为有序分组问题,可采取先按(1)分组,再进行分配,即排列 。 归纳:从1,2问区分分组要求与分配要求,并掌握基本方法。另外,举出类似问题,一起归结为:不同小球投入相同的盒子,不同小球投入不同的盒子 (3)分成三份,1份4个,另外两份每份1个; (4)甲、乙、丙三人中,一人得4个,另外两人每人得1个; 分析:(3)与(1)问题类型相同,同为分组要求,不同的地方:出现两份小球数目一样,即有均分组,此时按原方法计算会导致重复计算,举例:不妨记6个球为A、B、C、D、E、F,若第一步取了ABCD,第二步取了E,第三步取了F,记该种分法为(ABCD,E,F),则同样分法中还有(ABCD,F,E) ,共2种情况,而这2种情况仅是E,F的顺序不同,从排列角度易算出不同的分法为,需在原基础上除以,消去顺序。 归纳:在分组中出现均分组情况,需要消序,即除以均分组的组数全排列数 【例2】 按下列要求分配6个相同的小球,各有多少种不同的分配方式 (1)分成三份,1份1个,1份2个,1份3个; (2)甲、乙、丙三人中,一人得1个,一人得2个,一人得3个; 一.(1)通过穷举的办法算出结果,认识到分法差异在于各组小球数量的相对性 二. (2)分法差异在于不同的小组小球的数量,方法:先定数量分配,再分配入盒。 归纳: 1.球不同,盒子同(分组问题) 方法:典型组合问题,首先明确各组小球的数量,然后逐步算出每一组的组合方式,再相乘。注意:平均分组时,需消序,即除以均分组的个数的全排列数 2.球不同,盒子不同(分配问题) 方法:先组合后排列,首先按1类型算出分组方法,然后将各组整体视为单个元素,再进行排列。 特别地:当每个盒子不限小球的个数时,可让每一个小球依 次选择盒子,各小球的选择方法有b种,总数 · 3.球同,盒子不同(分法的差异:不同盒子所装小球的数量) 穷举法: 隔板法:将a个小球排成一列,小球间形成a-1个空位,从中选择b-1个空位插入隔板,等价于将元素分成b份。 注意;该法要求每个盒子至少有一个小球,不允许空盒 4.球同,盒子同(分法的差异:各盒子所装小球数量的相对性) 穷举法:即把每一个分法详细写出来。 分球入盒问题思考方式 1. 如何辨认何种考题属于此题型 特征:考察对象有两个,一个是待分配的,另一个对象具有容纳功能,常见问题:信件投信箱,多人人选房子住宿,赠书给人 2. 辨别哪个是小球,哪个是盒子。 盒子:具有容纳的功能 3. 辨别小球(盒子)同还是不同,确定问题的具体类型,准确选择方法。 4. 计算概率时,为典型的等可能实验