小学奥数知识点完全梳理
v1.0 可编辑可修改 小学奥数知识点完全梳理 概述 一、 计算 1. 四则混合运算与繁分数 ⑴ 运算顺序 ⑵ 分数、小数混合运算技巧 一般而言: ① 加减运算中,能化成有限小数的统一以小数形式; ② 乘除运算中,统一以分数形式。 ⑶带分数与假分数的互化 ⑷繁分数的化简 2. 简便计算 ⑴凑整思想 ⑵基准数思想 ⑶裂项与拆分 ⑷提取公因数 ⑸商不变性质 ⑹改变运算顺序 ① 运算定律的综合运用 ② 连减的性质 ③ 连除的性质 ④ 同级运算移项的性质 ⑤ 增减括号的性质 ⑥ 变式提取公因数 形如: 3. 估算 求某式的整数部分:扩缩法 4. 比较大小 ① 通分 a. 通分母 b. 通分子 ② 跟“中介”比 ③ 利用倒数性质 若,则c>b>a.。形如:,则。 5. 定义新运算 6. 特殊数列求和 运用相关公式: ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦1+2+3+4…(n-1)+n+(n-1)+…4+3+2+1=n 二、 数论 1. 奇偶性问题 奇奇=偶 奇×奇=奇 奇偶=奇 奇×偶=偶 偶偶=偶 偶×偶=偶 2. 位值原则 形如:=100a+10b+c 3. 数的整除特征: 整除数 特 征 2 末尾是0、2、4、6、8 3 各数位上数字的和是3的倍数 5 末尾是0或5 9 各数位上数字的和是9的倍数 11 奇数位上数字的和与偶数位上数字的和,两者之差是11的倍数 4和25 末两位数是4(或25)的倍数 8和125 末三位数是8(或125)的倍数 7、11、13 末三位数与前几位数的差是7(或11或13)的倍数 4. 整除性质 ① 如果c|a、c|b,那么c|(ab)。 ② 如果bc|a,那么b|a,c|a。 ③ 如果b|a,c|a,且(b,c)=1,那么bc|a。 ④ 如果c|b,b|a,那么c|a. ⑤ a个连续自然数中必恰有一个数能被a整除。 5. 带余除法 一般地,如果a是整数,b是整数(b≠0),那么一定有另外两个整数q和r,0≤r<b,使得a=b×q+r 当r=0时,我们称a能被b整除。 当r≠0时,我们称a不能被b整除,r为a除以b的余数,q为a除以b的不完全商(亦简称为商)。用带余数除式又可以表示为a÷b=q……r, 0≤r<b a=b×q+r 6. 唯一分解定理 任何一个大于1的自然数n都可以写成质数的连乘积,即 n= p1× p2×.×pk 7. 约数个数与约数和定理 设自然数n的质因子分解式如n= p1× p2×.×pk那么: n的约数个数:d(n)=(a1+1)(a2+1)(ak+1) n的所有约数和:(1+P1+P1+…p1)(1+P2+P2+…p2)…(1+Pk+Pk+…pk) 8. 同余定理 ① 同余定义:若两个整数a,b被自然数m除有相同的余数,那么称a,b对于模m同余,用式子表示为a≡b(mod m) ②若两个数a,b除以同一个数c得到的余数相同,则a,b的差一定能被c整除。 ③两数的和除以m的余数等于这两个数分别除以m的余数和。 ④两数的差除以m的余数等于这两个数分别除以m的余数差。 ⑤两数的积除以m的余数等于这两个数分别除以m的余数积。 9.完全平方数性质 ①平方差: A-B=(A+B)(A-B),其中我们还得注意A+B, A-B同奇偶性。 ②约数:约数个数为奇数个的是完全平方数。 约数个数为3的是质数的平方。 ③质因数分解:把数字分解,使他满足积是平方数。 ④平方和。 10.孙子定理(中国剩余定理) 11.辗转相除法 12.数论解题的常用方法: 枚举、归纳、反证、构造、配对、估计 三、 几何图形 1. 平面图形 ⑴多边形的内角和 N边形的内角和=(N-2)×180° ⑵等积变形(位移、割补) ① 三角形内等底等高的三角形 ② 平行线内等底等高的三角形 ③ 公共部分的传递性 ④ 极值原理(变与不变) ⑶三角形面积与底的正比关系 S1︰S2 =a︰b ; S1︰S2=S4︰S3 或者S1×S3=S2×S4 ⑷相似三角形性质(份数、比例) ① ; S1︰S2=a2︰A2 ②S1︰S3︰S2︰S4= a2︰b2︰ab︰ab ; S=(a+b)2 ⑸燕尾定理 S△ABG:S△AGC=S△BGE:S△GEC=BE:EC; S△BGA:S△BGC=S△AGF:S△GFC=AF:FC; S△AGC:S△BCG=S△ADG:S△DGB=AD:DB; ⑹差不变原理 知5-2=3,则圆点比方点多3。 ⑺隐含条件的等价代换 例如弦图中长短边长的关系。 ⑻组合图形的思考方法 ① 化整为零 ② 先补后去 ③ 正反结合 2. 立体图形 ⑴规则立体图形的表面积和体积公式 ⑵不规则立体图形的表面积 整体观照法 ⑶体积的等积变形 ①水中浸放物体:V升水=V物 ②测啤酒瓶容积:V=V空气+V水 ⑷三视图与展开图 最短线路与展开图形状问题 ⑸染色问题 几面染色的块数与“芯”、棱长、顶点、面数的关系。 四、 典型应用题 1. 植树问题 ①开放型与封闭型 ②间隔与株数的关系 2. 方阵问题 外层边长数-2=内层边长数 (外层边长数-1)×4=外周长数 外层边长数2-中空边长数2=实面积数 3. 列车过桥问题 ①车长+桥长=速度×时间 ②车长甲+车长乙=速度和×相遇时间 ③车长甲+车长乙=速度差×追及时间 列车与人或骑车人或另一列车上的司机的相遇及追及问题 车长=速度和×相遇时间 车长=速度差×追及时间 4. 年龄问题 差不变原理 5. 鸡兔同笼 假设法的解题思想 6. 牛吃草问题 原有草量=(牛吃速度-草长速度)×时间 7. 平均数问题 8. 盈亏问题 分析差量关系 9. 和差问题 10. 和倍问题 11. 差倍问题 12. 逆推问题 还原法,从结果入手 13. 代换问题 列表消元法 等价条件代换 五、 行程问题 1. 相遇问题 路程和=速度和×相遇时间 2. 追及问题 路程差=速度差×追及时间 3. 流水行船 顺水速度=船速+水速 逆水速度=船速-水速 船速=(顺水速度+逆水速度)÷2 水速=(顺水速度-逆水速度)÷2 4. 多次相遇 线型路程: