数列中的奇偶分析法问题研究

数列中的奇偶分析法问题 数列奇偶求通项公式： 【典例1】数列满足＋＝4n－3(n∈)，当＝2时，则数列的通项公式为______ 解析：由＋＝4n－3(n∈)，得＋＝4n＋1(n∈)．两式相减，得－＝4． 所以数列是首项为，公差为4的等差数列．数列是首项为，公差为4的等差数列．由＋＝1，＝2，得＝－1．所以＝(k∈Z)． 数列奇偶求前N项和： 【典例2】已知数列的通项，求其前项和． 【解析】奇数项组成以为首项，公差为12的等差数列，偶数项组成以为首项，公比为4的等比数列；当为奇数时，奇数项有项，偶数项有项，∴，当为偶数时，奇数项和偶数项分别有项， ∴，所以，． 练习1：已知则数列的前项和________． 【解析】①设则 故此时．②设n＝2m＋1(m∈N*)，则,故此时, ． 2．（扬州市2015—2016学年度第一学期期末检测试题·20）若数列中不超过的项数恰为（），则称数列是数列的生成数列，称相应的函数是数列生成的控制函数. （1）已知，且，写出、、； （2）已知，且，求的前项和； 【解析】（1），则 ；，则， ，则， （2）为偶数时，则，则；为奇数时，则，则； 为偶数时，则； 为奇数时，则； 3.（2017·镇江一模·19）已知，数列的各项均为正数，前项和为，且，设． （1）若数列是公比为的等比数列，求； （2）若对任意，恒成立，求数列的通项公式； （3）若，数列也为等比数列，求数列的通项公式． 解：（1）， . （2）当时，由，， 则， ，， 故，或.（*） 下面证明对任意的N*恒不成立. 事实上，因，则不恒成立； 若存在N*，使，设是满足上式最小的正整数，即，显然，且，则，则由（*）式知，，则，矛盾. 故对任意的N*恒不成立， 所以对任意的N*恒成立. 因此是以1为首项，1为公差的等差数列，所以. （3）因数列为等比数列，设公比为，则当 时，. 即，是分别是以1，2为首项，公比为的等比数列； 故，. 令，有，则. 当时，，，，此时 . 综上所述，. 4、（苏北四市（徐州、淮安、连云港、宿迁）2017届高三上学期期末）已知正项数列的前项和为，且，． （1）求数列的通项公式； （2）若对于 ，都有成立，求实数取值范围； （3）当时，将数列中的部分项按原来的顺序构成数列，且，证明： 存在无数个满足条件的无穷等比数列． （1）当时，，故； 当时，， 所以， 即， 又，所以， 所以，，， 故 （2）当为奇数时，， 由得，恒成立， 令，则， 所以． 当为偶数时，， 由得，恒成立， 所以． 又，所以实数的取值范围是． （3）当时，若为奇数，则，所以． 解法1：令等比数列的公比，则． 设，因为， 所以， ， 因为为正整数， 所以数列是数列中包含的无穷等比数列， 因为公比有无数个不同的取值，对应着不同的等比数列， 故无穷等比数列有无数个． 解法2：设，所以公比． 因为等比数列的各项为整数，所以为整数， 取，则，故， 由得，， 而当时，， 即， 又因为，都是正整数，所以也都是正整数， 所以数列是数列中包含的无穷等比数列， 因为公比有无数个不同的取值，对应着不同的等比数列， 故无穷等比数列有无数个． 5、（盐城市2017届高三上学期期中）若数列中的项都满足（），则称为“阶梯数列”. （1）设数列是“阶梯数列”，且，（），求； （2）设数列是“阶梯数列”，其前项和为，求证：中存在连续三项成等差数列，但不存在连续四项成等差数列； （3）设数列是“阶梯数列”，且，（），记数列的前项和为. 问是否存在实数，使得对任意的恒成立若存在，请求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由. 解：（1），，是以为首项为公比的等比数列， ，， ∵数列是“阶梯数列”，∴. （2）由数列是“阶梯数列”得，故, ∴中存在连续三项成等差数列； （注：给出具体三项也可） 假设中存在连续四项成等差数列， 则，即， 当时, ，① 当时, ，② 由数列是“阶梯数列”得，③ ①②与③都矛盾，故假设不成立，即中不存在连续四项成等差数列. （3）∵,,是以为首项为公差的等差数列， ，又数列是“阶梯数列”，故， , ①当时, ,, 又恒成立，恒成立, . ②当时, ,, 又恒成立，恒成立, . 综上①②, 存在满足条件的实数，其取值范围是. n为正偶数， n为正奇数. 注：也可写成 6．（南京市、盐城市2016届高三年级第二次模拟考试·20)已知数列{an}的前n项和为Sn，且对任意正整数n都有an＝(－1)nSn ＋pn(p为常数，p≠0)． （1）求p的值； （2）求数列{an}的通项公式； （3）设集合An＝{a2n－1，a2n}，且bn，cnAn，记数列{nbn}，{ncn}的前n项和分别为Pn，Qn． 若b1≠c1，求证：对任意n∈N*，Pn≠Qn． 12．解：（1）由a1＝－S1＋p，得a1＝． 由a2＝S2＋p2，得a1＝－p2，所以＝－p2． 又p≠0，所以p＝－． （2）由an＝(－1)nSn＋(－)n，得 ①＋②得an＋an＋1＝(－1)n(－an＋1)＋×(－)n． 当n为奇数时，an＋an＋1＝an＋1－×()n， 所以an＝－()n＋1． 当n为偶数时，an＋an＋1＝－an＋1＋×()n， 所以an＝－2an＋1＋×()n＝2×()n＋2＋×()n＝()n， 所以an＝ （3）An＝{－，}，由于b1≠c1，则b1 与c1一正一负， 不妨设b1＞0，则b1＝，c1＝－． 则Pn＝b1＋2b2＋3b3＋…＋nbn≥－(＋+…＋)． 设S＝＋+…＋，则S＝＋…＋+， 两式相减得S＝＋+…＋－＝＋×－＝－×－＜． 所以S＜×＝，所以Pn≥－(＋+…＋)＞－＝＞0． 因为Qn= c1＋2 c 2＋3 c 3＋…＋n c n≤－＋S＜－＋ ＝－＜0， 所以Pn≠Qn．