向量解题技巧
一、 怎么样求解向量的有关概念问题 驾驭并理解向量的基本概念 1. 推断下列各命题是否正确 (1) 若; (2) 两向量相等的充要条件是且; (3) 是向量的必要不充分条件; (1) 若是不共线的四点,则是四边形为平行四边形的充要条件; (2) 的充要条件是与重合,重合。 二、 向量运算及数乘运算的求解方法 两个不共线的向量,加法的三角形法则和平行四边形法则是一样的。两个有相同起点的向量的差是连结两向量的终点,方向指向被减向量的向量,若起点不同,要平移到同一起点;重要结论:与不共线,则是以与为邻边的平行四边形两条对角线所表示的向量。在求解向量的坐标运算问题时,留意向量坐标等终点坐标减起点坐标,即若,则。 例1 若向量 例2 若向量 例3 在平面直角坐标系中,O为坐标原点,已知两点若点,其中且,则点C的轨迹为( ) 例4 O是平面上肯定点,是平面上不共线的三个点,动点P满意,,则P的轨迹肯定过的() 外心 内心 重心 垂心 例5 设G是内的一点,试证明: (1) 若G是为重心,则; (2) 若,则G是为重心。 三、 三点共线问题的证法 证明A,B,C三点共线,由共线定理(),只需证明存在实数,使,,其中必需有公共点。 共线的坐标表示的充要条件,若,则 例1 已知A、B两点,P为一动点,且,其中t为一变量。 证明:1.P必在直线AB上;2.t取何值时,P为A点、B点? 例2 证明:始点在同一点的向量的终点在同始终线上 例3 对于非零向量 四、 求解平行问题 两向量平行,即共线,往往通过“点的坐标”来实现;两向量是否共线与它们模长的大小无关,只由它们的方向确定;两向量是否相等起点无关,只由模长和方向确定。 例1 已知且,求y的值。 例2 已知点,若向量则B点的坐标是____. 例3 平面内给定三向量,则: (1) 求 (2) (3) 若 (4) 设 例4 (1) 已知点,求。 (2) 若平行四边形ABCD的顶点 五、 向量的数量积的求法 求数量积: 当两种可能。故 一些重要的结论:;; 例1 设是随意的非零的向量,且相互不共线,则( ) 其中是真命题的为( ) 例2 已知平面上三点A、B、C,满意则的值等于________。 例3 已知向量的夹角为,且 六、 如何求向量的长度 形如的模长求法:,即: 例1 已知向量其中 例2 设向量 七、 如何求两向量的夹角 夹角公式: 例1 已知 例2 若是夹角为的单位向量,且。 八、 垂直问题的求解 向量垂直的充要条件: 例1若向量 例2在中的一个内角为直角,求的值。 例3已知 例4已知 九、 向量的数量积的逆向应用 求解有关向量的问题,可设出该向量的坐标,列出方程或方程组求之。 例1已知 例2求与向量 例3若平面对量 例4已知 十、 线段定比分点公式的运用技巧 求解定比分点问题,要留意结合图形,分清是内分点是外分点,不能混淆起点和终点, 定比分点坐标公式:中点坐标公式:, 重心坐标公式: 例1设点P分有向线段所成的比为,则分所成的比为________。 例2已知两点与轴的交点分有向线段___. 十一、 利用平移公式解题 点按向量向量,解题时要留意理解图像平移前后的关系。 例1已知两个点 (1)把P按向量平移得_______. (2)某点按,得到,求这个点坐标。 (3)P按某向量平移得到,求这个向量坐标。 例2将函数的图像按向量平移后得到的是函数的图像,那么的坐标是_______. 例3将函数得则向量的坐标是( ) 十二、 怎样利用正、余弦定理求三角形的边与角 主要考查正、余弦定理,勾股定理、三角变换,诱导公式。 正弦定理:;,, 三角形面积公式:。 余弦定理: 下面关系式需熟记:在中 例1 在中, 例2 已知中的最大角A是最小角C的二倍,且成等差数列,则 例3 已知是中的对边,成等差数列,,的面积为,那么。 例4在中,。 十三、 如何判定三角形的形态 原则上是将角化成边或将边化成角,主要工具是正余弦定理和三角恒等变形及代数变形。 留意:做等式变形过程中因式不行干脆约分! 例1 在中,若则的形态肯定是( ) 例2 关于有一根为1,则的形态肯定是( ) 例3 在中,是( ) 6