向量组的线性相关性教案
第四章 向量组的线性相关性 1.教学目的和要求: (1)理解n维向量、向量的线性表示的概念. (2)理解向量组线性相关、线性无关的定义,了解并会用向量组线性相关、线性无关的有关性质及判别法. (3)了解向量组的极大线性无关组和向量组秩的概念,会求向量组的极大线性无关组及秩. (4)了解向量组等价的概念以及向量组的秩与矩阵秩的关系. (5)理解线性方程组解的性质. (6)理解齐次线性方程组的基础解系及通解的概念。驾驭齐次线性方程组的基础解系和通解的求法. (7)理解非齐次线性方程组的解结构系及通解的概念. (8)会用初等行变换求解线性方程组. 2.教学重点:向量组的线性相关性、向量组的秩、线性方程组的解的结构. 3.教学难点: (1)向量组的线性相关性中相关定理的证明. (2)求向量组的秩及最大线性无关组. (3)线性方程组的解的结构定理及其应用. 4.教学内容: §1 向量组及其线性组合 定义1 个有次序的数所组成的数组称为维向量,这个数称为该向量的个重量,第个数称为第个重量. 定义2 对维向量及, 若有数组, 使得, 称为的线性组合,或可由线性表示. 例1 设, , , 试推断可否由线性表示 解 设,比较两端的对应重量可得 , 求得一组解为 于是有, 即可由线性表示. [注] 取另一组解时, 有. 定理1 向量能由向量组:线性表示的充分必要条件是矩阵=的秩等于矩阵的秩=. 定义3 设有两个向量组:及:, 若组中每个向量都能由向量组线性表示, 则称向量组能由向量组线性表示.若向量组与向量组能相互线性表示, 则称这两个向量组等价. 定理2 向量组:能由向量组:线性表示的充分必要条件是矩阵=的秩等于矩阵的秩=的秩, 即 推论 向量组:与向量组:等价的充分必要条件是, 其中和是向量组和所构成的矩阵. 定理3 设向量组:能由向量组:线性表示, 则 课后作业: 习题四 1,2,3,4,5 §2 向量组的线性相关性 定义4 线性相关:对维向量组, 若有数组不全为0, 使得 则称向量组线性相关, 否则称为线性无关. 线性无关:对维向量组, 仅当数组全为0时, 才有 则称向量组线性无关, 否则称为线性相关. [注] 对于单个向量:若, 则线性相关; 若, 则线性无关. 对于两个向量的向量组,若对应重量成比例,则该向量组线性相关,否则线性无关. 例2 推断例1中向量组的线性相关性. 解 设, 比较两端的对应重量可得 即.因为未知量的个数是4, 而, 所以 有非零解, 由定义知线性相关. 例3 已知向量组线性无关, 证明向量组 , , 线性无关. 证 设 , 则有 因为线性无关, 所以 , 即 系数行列式 , 该齐次方程组只有零解. 故线性无关. 例4 推断向量组 , , …, 的线性相关性. 解 设 , 则有 只有 故线性无关. 定理4 (1)向量组线性相关其中至少有一个向量可由其余个向量线性表示. 证 必要性 已知线性相关, 则存在不全为零, 使得 不妨设, 则有 . 充分性 不妨设 , 则有 因为不全为零, 所以线性相关. (2)若向量组线性无关, 线性相关,则可由线性表示, 且表示式唯一. 证 因为线性相关, 所以存在数组不全为零, 使得 若, 则有 .冲突! 故, 从而有 . 下面证明表示式唯一: 若 , 则有 因为线性无关, 所以 即的表示式唯一. (3)线性相关线性相关. 证 因为线性相关, 所以存在数组不全为零, 使得 数组不全为零, 故线性相关. 推论 向量组线性无关随意的部分组线性无关. 定理5 设 (1) 线性相关; (2) 线性无关. 证 设 比较等式两端向量的对应重量可得 即 .由定理可得: 线性相关有非零解 推论1 在定理5中, 当时, 有 (1) 线性相关; (2) 线性无关. 推论2 在定理5中, 当时, 有 (1) 线性相关中全部的阶子式(); (2) 线性无关中至少有一个阶子式(). 推论3 在定理5中, 当时, 必有线性相关. 因为, 由定理5(1)即得. 推论4 向量组: 向量组: 若线性无关, 则线性无关(即无关组添加重量仍无关). 证 线性无关 是的子矩阵 线性无关 定理6 划分, 则有 (1) 中某个中“所在的”个行向量线性无关; 中“所在的”个列向量线性无关. (2) 中全部中随意的个行向量线性相关; 中随意的个列向量线性相关. 证 只证“行的情形”: (1) 设位于的行, 作矩阵, 则有 线性无关. (2) 任取中个行, 设为行, 作矩阵, 则有线性相关. [注] 称为的行向量组, 为的列向量组. §3 向量组的秩 定义5 向量组的秩:设向量组为, 若 (1) 在中有个向量线性无关; (2) 在中随意个向量线性相关(假如有个向量的话). 称为向量组为的一个最大线性无关组, 称为向量组的秩, 记作:秩. [注] (1) 向量组中的向量都是零向量时, 其秩为0. (2) 秩时, 中随意