同角三角函数的基本关系式知识讲解
同角三角函数的基本关系式学问讲解 同角三角函数基本关系 【学习目标】 1.借助单位圆,理解同角三角函数的基本关系式:,驾驭已知一个角的三角函数值求其他三角函数值的方法; 2.会运用同角三角函数之间的关系求三角函数值, 化简三角式或证明三角恒等式。 【要点梳理】 要点一:同角三角函数的基本关系式 (1)平方关系: (2)商数关系: (3)倒数关系:,, 要点诠释: (1)这里“同角”有两层含义,一是“角相同”,二是对“随意”一个角(使得函数有意义的前提下)关系式都成立; (2)是的简写; (3)在应用平方关系时,常用到平方根,算术平方根和确定值的概念,应留意“”的选取。 要点二:同角三角函数基本关系式的变形 1.平方关系式的变形: , 2.商数关系式的变形 。 【典型例题】 类型一:已知某个三角函数值求其余的三角函数值 例1.已知tan=-2,求sin,cos的值。 【思路点拨】先利用,求出sin=-2cos,然后结合sin2+cos2=1,求出sin,cos。 【解析】 解法一:∵tan=-2,∴sin=-2cos。 ① 又sin2+cos2=1, ② 由①②消去sin得(-2cos)2+cos2=1,即。 当为其次象限角时,,代入①得。 当为第四象限角时,,代入①得。 解法二:∵tan=-2<0,∴为其次或第四象限角。 又由,平方得。 ∴,即。 当为其次象限角时,。 。 当为第四象限角时,。 。 【总结升华】解答此类题目的关键在于充分借助已知角的三角函数值,缩小角的范围。在解答过程中假如角所在象限已知,则另两个三角函数值结果唯一;若角所在象限不确定,则应分类探讨,有两种结果,需特别留意:若已知三角函数值以字母a给出,应就所在象限探讨。 举一反三: 【变式1】已知是的一个内角,且,求 【思路点拨】依据可得的范围:再结合同角三角函数的关系式求解. 【解析】为钝角, 由平方整理得 例2.已知cos=m(-1≤m≤1),求sin的值。 【解析】(1)当m=0时,角的终边在y轴上, ①当角的终边在y轴的正半轴上时,sin=1; ②当角的终边在y轴的负半轴上时,sin=-1。 (2)当m=±1时,角的终边在x轴上,此时,sin=0。 (3)当|m|<1且m≠0时, ∵sin2=1―cos2=1―m2, ∴①当角为第一象限角或其次象限角时,, ②当角为第三象限角或第四象限角时,。 【总结升华】当角的范围不确定时,要对角的范围进行探讨,切记不要遗漏终边落在坐标轴上的状况。 类型二:利用同角关系求值 例3.已知:求: (1)的值;(2)的值; (3)的值;(4)及的值 【思路点拨】同角三角函数基本关系是反映了各种三角函数之间的内在联系,为三角函数式的恒等变形供应了工具及方法。 【答案】(1)(2)(3)0(4)或 【解析】(1)由已知 (2) (3) (4)由,解得或 【总结升华】本题给出了及三者之间的关系,三者知一求二,在求解的过程中关键是利用了这个隐含条件。 举一反三: 【变式1】已知,求下列各式的值: (1);(2)sin3+cos3。 【解析】 因为, 所以, 所以。 (1) (2)。 【总结升华】 对于已知sin±cos=m型的问题,常有两种解法:一是两边平方,得±2sincos=m2-1,联立以上两个式子解出sin,cos的值,从而使问题得以解决;二是对所求式子进行变形,化为sin±cos,sin·cos的形式代入求解,解题时留意正, 负号的探讨及确定。 例4.已知tan=3,求下列各式的值。 (1);(2);(3)。 【思路点拨】由已知可以求出,进而代入得解,但过程繁琐。在关于“齐次”式中可以运用“弦化切”,转化成关于tan的式子,然后利用已知求解. 【解析】(1)原式的分子分母同除以cos(cos≠0)得, 原式。 (2)原式的分子分母同除以cos2(cos2≠0)得, 原式。 (3)用“1”来代换, 原式。 【总结升华】 ①已知tan的值,求关于sin, cos的齐次式的值问题①如(1), (2)题,∵cos≠0,所以可用cosn(n∈N*)除之,将被求式转化为关于tan的表示式,可整体代入tan=m的值,从而完成被求式的求值;②在(3)题中,求形如a sin2+b sincos+c cos2的值,留意将分母的1化为1=sin2+cos2代入,转化为关于tan的表达式后再求值。 举一反三: 【变式1】(1)已知tan=3,求sin2-3sincos+1的值; (2)已知,求的值。 【解析】(1)∵tan=3,1=sin2+cos2, ∴原式 。 (2)由,得,解得: ∴ 。 类型三:利用同角关系化简三角函数式 例5.化简:。 【解析】 解法一:原式 。 解法二:原式 。 解法三:原式 。 【总结升华】以上三种解法虽然思路不同,但是主要都是应用公式sin2+cos2=1,解法二和解法三都是顺用公式,而解法一则是逆用公式,三种解法中,解法一最为简洁。这里,所谓逆用公式sin2+cos2=1,实质上就是“1”的一种三角代换:“1=sin2+cos2”,1的三角代换在三角函数式的恒等变形过程中有着广泛的应用。 举一反三: 【变式1】化简 (1); (2); (3); (4) 【答案】(1)-1(2)(3)略(4)略 【解析】(1)原式= (2)原式= (3)原式= (4)原式= = =, 类型四:利用同角关系证明三角恒等式 例6.求证:。 【思路点拨】利用同角三角函数关系式对式子的左边或右边进行化简,使之及式子的另一边相同。 【解析】 证法一:右边 =左边。 证法二:左边, 右边, 所以左边=右边,原等式成立。 证法三:左边, 右边, 所以左边=右边,原等式成立。 【总结升华】 本题主要考查三角恒等式的证明方法。就一般状况而言,证明三角恒等式时,可以从左边推到右边,也可以从右边推到左边,本着化繁就简的原则,即从较繁的一边推向较简的一边;还可以将左, 右两边同时推向一个中间结果;有时候改证其等价命题更为便利。但是,不管实行哪一种方式,证明时都要“盯住目标,据果变形”。化简证明过程中常用的技巧有:弦切互化,运用分式的基本性质变形,分解因式,回来定义等。 举一反三: 【变式1】求证:. 【解析】证法一:由题意知,所以. ∴左边=右边. ∴原式成立. 证法二:由题意知,所以. 又∵, ∴. 证法三:由题意知,所以. , ∴. 【变式2】已知,求证:。 【证明】∵,∴, ∵,∴。 ∴。 7 / 7