同济大学第六版高等数学上册课后复习资料全集[1]
高等数学第六版上册课后习题答案 第一章 习题1-1 1. 设A=(-¥, -5)È(5, +¥), B=[-10, 3), 写出AÈB, AÇB, A\B与A\(A\B)的表达式. 解 AÈB=(-¥, 3)È(5, +¥), AÇB=[-10, -5), A\B=(-¥, -10)È(5, +¥), A\(A\B)=[-10, -5). 2. 设A、B是随意两个集合, 证明对偶律: (AÇB)C=AC ÈBC . 证明 因为 xÎ(AÇB)CÛxÏAÇBÛ xÏA或xÏBÛ xÎAC或xÎBC Û xÎAC ÈBC, 所以 (AÇB)C=AC ÈBC . 3. 设映射f : X ®Y, AÌX, BÌX . 证明 (1)f(AÈB)=f(A)Èf(B); (2)f(AÇB)Ìf(A)Çf(B). 证明 因为 yÎf(AÈB)Û$xÎAÈB, 使f(x)=y Û(因为xÎA或xÎB) yÎf(A)或yÎf(B) Û yÎf(A)Èf(B), 所以 f(AÈB)=f(A)Èf(B). (2)因为 yÎf(AÇB)Þ$xÎAÇB, 使f(x)=yÛ(因为xÎA且xÎB) yÎf(A)且yÎf(B)Þ yÎ f(A)Çf(B), 所以 f(AÇB)Ìf(A)Çf(B). 4. 设映射f : X®Y, 若存在一个映射g: Y®X, 使, , 其中IX、IY分别是X、Y上的恒等映射, 即对于每一个xÎX, 有IX x=x; 对于每一个yÎY, 有IY y=y. 证明: f是双射, 且g是f的逆映射: g=f -1. 证明 因为对于随意的yÎY, 有x=g(y)ÎX, 且f(x)=f[g(y)]=Iy y=y, 即Y中随意元素都是X中某元素的像, 所以f为X到Y的满射. 又因为对于随意的x1¹x2, 必有f(x1)¹f(x2), 否则若f(x1)=f(x2)Þg[ f(x1)]=g[f(x2)] Þ x1=x2. 因此f既是单射, 又是满射, 即f是双射. 对于映射g: Y®X, 因为对每个yÎY, 有g(y)=xÎX, 且满意f(x)=f[g(y)]=Iy y=y, 按逆映射的定义, g是f的逆映射. 5. 设映射f : X®Y, AÌX . 证明: (1)f -1(f(A))ÉA; (2)当f是单射时, 有f -1(f(A))=A . 证明 (1)因为xÎA Þ f(x)=yÎf(A) Þ f -1(y)=xÎf -1(f(A)), 所以 f -1(f(A))ÉA. (2)由(1)知f -1(f(A))ÉA. 另一方面, 对于随意的xÎf -1(f(A))Þ存在yÎf(A), 使f -1(y)=xÞf(x)=y . 因为yÎf(A)且f是单射, 所以xÎA. 这就证明白f -1(f(A))ÌA. 因此f -1(f(A))=A . 6. 求下列函数的自然定义域: (1); 解 由3x+2³0得. 函数的定义域为. (2); 解 由1-x2¹0得x¹±1. 函数的定义域为(-¥, -1)È(-1, 1)È(1, +¥). (3); 解 由x¹0且1-x2³0得函数的定义域D=[-1, 0)È(0, 1]. (4); 解 由4-x2>0得 |x|0得函数的定义域D=(-1, +¥). (10). 解 由x¹0得函数的定义域D=(-¥, 0)È(0, +¥). 7. 下列各题中, 函数f(x)和g(x)是否相同?为什么? (1)f(x)=lg x2, g(x)=2lg x; (2) f(x)=x, g(x)=; (3),. (4)f(x)=1, g(x)=sec2x-tan2x . 解 (1)不同. 因为定义域不同. (2)不同. 因为对应法则不同, x0, 1-x2>0. 因为当x1