同济第六版高等数学教案WORD版第12章微分方程
同济第六版《高等数学》教案WORD版-第12章 微分方程 第十二章 微分方程 教学目的: 1.了解微分方程及其解、阶、通解,初始条件和特等概念。 2.娴熟驾驭变量可分别的微分方程及一阶线性微分方程的解法。 3.会解齐次微分方程、伯努利方程和全微分方程,会用简洁的变量代换解某些微分方程。 4. 会用降阶法解下列微分方程:, 和 5. 理解线性微分方程解的性质及解的结构定理。 6.驾驭二阶常系数齐次线性微分方程的解法,并会解某些高于二阶的常系数齐次线性微分方程。 7.求自由项为多项式、指数函数、余弦函数,以及它们的和及积的二阶常系数非齐次线性微分方程的特解和通解。 8.会解欧拉方程,会解包含两个未知函数的一阶常系数线性微分方程组。 9.会解微分方程组(或方程组)解决一些简洁的应用问题。 教学重点: 1、 可分别的微分方程及一阶线性微分方程的解法 2、 可降阶的高阶微分方程, 和 3、 二阶常系数齐次线性微分方程; 4、 自由项为多项式、指数函数、余弦函数,以及它们的和及积的二阶常系数非齐次线性微分方程; 教学难点: 1、 齐次微分方程、伯努利方程和全微分方程; 2、 线性微分方程解的性质及解的结构定理; 3、自由项为多项式、指数函数、余弦函数,以及它们的和及积的二阶常系数非齐次线性微分方程的特解。 4、欧拉方程 §12. 1 微分方程的基本概念 函数是客观事物的内部联系在数量方面的反映, 利用函数关系又可以对客观事物的规律性进行探讨. 因此如何找寻出所须要的函数关系, 在实践中具有重要意义. 在很多问题中, 往往不能干脆找出所须要的函数关系, 但是依据问题所供应的状况, 有时可以列出含有要找的函数及其导数的关系式. 这样的关系就是所谓微分方程. 微分方程建立以后, 对它进行探讨, 找出未知函数来, 这就是解微分方程. 例1 一曲线通过点(1, 2), 且在该曲线上任一点M(x, y)处的切线的斜率为2x, 求这曲线的方程. 解 设所求曲线的方程为y=y(x). 依据导数的几何意义, 可知未知函数y=y(x)应满意关系式(称为微分方程) . (1) 此外, 未知函数y=y(x)还应满意下列条件: x=1时, y=2, 简记为y|x=1=2. (2) 把(1)式两端积分, 得(称为微分方程的通解) , 即y=x2+C, (3) 其中C是随意常数. 把条件“x=1时, y=2”代入(3)式, 得 2=12+C, 由此定出C=1. 把C=1代入(3)式, 得所求曲线方程(称为微分方程满意条件y|x=1=2的解): y=x2+1. 例2 列车在平直线路上以20m/s(相当于72km/h)的速度行驶; 当制动时列车获得加速度-0.4m/s2. 问起先制动后多少时间列车才能停住, 以及列车在这段时间里行驶了多少路程? 解 设列车在起先制动后t秒时行驶了s米. 依据题意, 反映制动阶段列车运动规律的函数s=s(t)应满意关系式 . (4) 此外, 未知函数s=s(t)还应满意下列条件: t=0时, s=0, . 简记为s|t=0=0, s¢|t=0=20. (5) 把(4)式两端积分一次, 得 ; (6) 再积分一次, 得 s=-0.2t2 +C1t +C2, (7) 这里C1, C2都是随意常数. 把条件v|t=0=20代入(6)得 20=C1; 把条件s|t=0=0代入(7)得0=C2. 把C1, C2的值代入(6)及(7)式得 v=-0.4t +20, (8) s=-0.2t2+20t. (9) 在(8)式中令v=0, 得到列车从起先制动到完全停居处需的时间 (s). 再把t=50代入(9), 得到列车在制动阶段行驶的路程 s=-0.2´502+20´50=500(m). 解 设列车在起先制动后t秒时行驶了s米, s¢¢=-0.4, 并且s|t=0=0, s¢|t=0=20. 把等式s¢¢=-0.4两端积分一次, 得 s¢=-0.4t+C1, 即v=-0.4t+C1(C1是随意常数), 再积分一次, 得 s=-0.2t2 +C1t +C2 (C1, C2都C1是随意常数). 由v|t=0=20得20=C1, 于是v=-0.4t +20; 由s|t=0=0得0=C2, 于是s=-0.2t2+20t. 令v=0, 得t=50(s). 于是列车在制动阶段行驶的路程 s=-0.2´502+20´50=500(m). 几个概念: 微分方程: 表示未知函数、未知函数的导数及自变量之间的关系的方程, 叫微分方程. 常微分方程: 未知函数是一元函数的微分方程, 叫常微分方程. 偏微分方程: 未知函数是多元函数的微分方程, 叫偏微分方程. 微分方程的阶: 微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数, 叫微分方程的阶. x3 y¢¢¢+x2 y¢¢-4xy¢=3x2 , y(4) -4y¢¢¢+10y¢¢-12y¢+5y=sin2x, y(n) +1=0, 一般n阶微分方程: F(x, y, y¢, × × × , y(n) )=0. y(n)=f(x, y, y¢, × × × , y(n-1) ) . 微分方程的解: 满意微分方程的函数(把函数代入微分方程能使该方程成为恒等式)叫做该微分方程的解. 准确地说, 设函数y=j(x)在区间I上有n阶连续导数, 假如在区间I上, F[x, j(x), j¢(x), × × ×, j(n) (x)]=0, 那么函数y=j(x)就叫做微分方程F(x, y, y¢, × × ×, y(n) )=0在区间I上的解. 通解: 假如微分方程的解中含有随意常数, 且随意常数的个数及微分方程的阶数相同, 这样的解叫做微分方程的通解. 初始条件: 用于确定通解中随意常数的条件, 称为初始条件. 如 x=x0 时, y