同济版高数试卷及答案
模拟试卷一 一、填空题(每小题3分,满分18分) 1、若函数,则= . 2、设函数,则= . 3、交换积分次序:= . 4、曲面包含在柱面内的面积可用二次积分表示为(不必详细计算) . 5、已知,,则= . 6、母线平行于轴,准线为两曲面与 的交线的柱面方程为 二、单项选择题(每小题3分,满分12分) 1、在点的偏导数及存在是在该点可微的( ). A. 充分条件B. 必要条件 C. 充分必要条件D. 既非充分又非必要条件 2、函数在点处沿从点到点的方向的方向导数为( ). A. B. C. D. 3、若在处收敛,则此级数在处( ). A. 条件收敛B. 肯定收敛C. 发散D.收敛性不能确定 4、设为;为且,则使 成立的充分条件是( ). (A)(B) (C)(D) 三、计算下列各题(每小题7分,满分49分) 1、设,其中具有二阶连续偏导数,求,,. 2、求曲面在点处的法线方程. 3、计算. 4、计算三重积分,其中是由曲面与所围成的闭区域. 5、求幂级数的收敛半径、收敛域及和函数. 6、 将函数绽开为的幂级数. 7、过点且与直线:,: 平行的平面方程。 四、应用题(每小题8分,满分16分) 1、求旋转椭球面在第一卦限的一点,使该点处的切平面在三个坐标轴上的截距平方和最小. 2、设球体占有闭区域,它在内部各点处的密度的大小等于该点到坐标原点的距离的平方,试求这球体的质量. 五、证明题(5分) 若收敛,试证也收敛. 模拟试卷一答案 一、1、; 2、; 3、; 4、(或); 5、; 6、. 二、1、; 2、; 3、; 4、. 三、1、解 =, (2分) =. (4分) = (6分) =. (7分) 2、解 设,(1分)则曲面在点的法向量为 , (5分) 所以,所求法线方程为 . (7分) 3、解 原式== (3分) == (5分) =. (7分) 4、解 由及中消去得,因而在面上的投影区域为: . (2分) 原式= (4分) == (6分) =. (7分) 5、解 收敛半径. (1分) 当时,原级数为,收敛; 当时,原级数为,发散. 所以,原级数的收敛域为:. (3分) 设, .则 当时, == == ==. (6分) 当时, . (7分) . 6、解 = (3分) ==. (5分) 绽开域为 即 . (7分) 7、解 的方向向量, (1分) 的方向向量可取 , (3分) 所求平面的法向量可取,(5分) 故的方程为或(6分) (7分) 四、1、解 曲面位于第一挂限部分上任一点处的切平面方程为,(2分)则它在三个坐标轴上的截距分别为,,.(3分)所以设 . (5分) 由 (7分) 解得,.因为驻点惟一,所以即为所求的点 (8分) 2、解 密度函数为,(1分)则球体的质量为 == (2分) = (5分) == (7分) ===. (8分) 五、证 , . (2分) 由极限的性质知,,当时,有,而 , (4分) 故由比较判别法知,收敛. (5分)