同济大学-高等数学微积分教案
38 第一章:函数与极限 1.1 初等函数图象及性质 幂函数 函数 (m 是常数) 叫做幂函数。幂函数的定义域,要看m 是什么数而定。例如,当m = 3时,y=x3的定义域是(-∞ ,+∞);当m = 1/2时,y=x1/2的定义域是[0,+∞ );当m = -1/2时,y=x-1/2的定义域是(0,+∞ )。但不论m 取什么值,幂函数在(0,+∞)内总有定义。最常见的幂函数图象如下图所示:[如图] 指数函数与对数函数 1.指数函数 函数y=ax(a是常数且a>0,a≠1)叫做指数函数,它的定义域是区间(-∞ ,+∞)。 因为对于任何实数值x,总有ax >0,又a0=1,所以指数函数的图形,总在x轴的上方,且通过点(0,1)。 若a>1,指数函数ax是单调增加的。若01,对数函数logax是单调增加的,在开区间(0,1)内函数值为负,而在区间(1,+∞)内函数值为正。 若0N,n>N时,就有 。 必要性的证明 设,若随意给定正数,则也是正数,于是由数列极限的定义,存在着正整数N,当n>N时,有;同样,当m>N时,也有 。 因此,当m>N, n>N时,有 所以条件是必要的。充分性的证明从略。 这准则的几何意义表示,数列收敛的充分必要条件是:对于随意给定的正数,在数轴上一切具有足够大号码的点,随意两点间的距离小于。柯西极限存在准则有时也叫做柯西审敛原理。 1.6 连续函数 定义:若函数f(x)在x0点的旁边包括x0点本身有定义,并且, 则称f(x)在x0点连续,x0为f(x)的连续点。[如图] 充要条件:f(x)在x0点既是左连续又是右连续。 初等函数如三角、反三角函数,指数、对数函数等都是在自定义区间内的连续函数。 三类不连续点: (1)第一类不连续点:f(x0+0),f(x0-0)存在但不相等。[如图] (2)其次类不连续点:f(x0+0),f(x0-0)中至少有一个不存在。[如图] (3)第三类不连续点:f(x0+0),f(x0-0)存在且相等,但它不等于f(x0)或f(x)在x0点无定义。[如图] 1.7 一样连续性的概念及它与连续的不同 定义:对,可找到只与有关而与x无关的,使得对区间内随意两点x1,x2,当时总有,就称f(x)在区间内一样连续。 与连续的比较: (1)连续可对一点来讲,而一样连续必需以区间为对象。 (2)连续函数对于某一点x0,取决于x0和,而一样连续函数的只取决于,与x值无关。 (3)一样连续的函数必定连续。[例:函数y = 1/x,当x∈(0,1)时非一样连续,当x∈(C,1)时一样连续] (4)康托定理:闭区间[a , b]上的连续函数f(x)肯定在[a , b]上一样连续。 其次章:导数与微分 微分学是微积分的重要组成部分,他的基本概念是导数与微分,其中导数反映出自变量的改变快慢程度,而微分则指明当自变量有微小改变时,函数大体上改变多少。 2.1 导数的概念 导数的定义:设函数y=f(x)在点x0的某个邻域内有定义,当自变量x在x0处取得增量x(点x0+x仍在该领域内)时,相应地函数取得增量;假如与之比当时的极限存在,则称函数在处可导,并称这个极限为函数在点处的导数,记为, 即,也可记作。 导数的定义式也可取不同的形式,常见的有和 导数的概念就是函数改变率这一概念的精确描述。 求导举例 例 求函数(n为正整数)在处的导数 解 把以上结果中的换成得,即 更一般地,对于幂函数(为常数)