同济大学---高数上册知识点
高等数学(上)期末复习要点 高等数学上册复习要点 一、 函数与极限 (一) 函数 1、 函数定义及性质(有界性、单调性、奇偶性、周期性); 2、 反函数、复合函数、函数的运算; 3、 初等函数:幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数; 4、 函数的连续性与间断点; 函数在连续 第一类:左右极限均存在. 间断点 可去间断点、跳动间断点 其次类:左右极限、至少有一个不存在. 无穷间断点、振荡间断点 5、 闭区间上连续函数的性质:有界性与最大值最小值定理、零点定理、介值定理及其推论. (二) 极限 1、 定义 1) 数列极限 2) 函数极限 左极限: 右极限: 2、 极限存在准则 1) 夹逼准则: 1) 2) 2) 单调有界准则:单调有界数列必有极限. 3、 无穷小(大)量 1) 定义:若则称为无穷小量;若则称为无穷大量. 2) 无穷小的阶:高阶无穷小、同阶无穷小、等价无穷小、阶无穷小 Th1 ; Th2 (无穷小代换) 4、 求极限的方法 1) 单调有界准则; 2) 夹逼准则; 3) 极限运算准则及函数连续性; 4) 两个重要极限: a) b) 5) 无穷小代换:() a) b) c) () d) () e) 二、 导数与微分 (一) 导数 1、 定义: 左导数: 右导数: 函数在点可导 2、 几何意义:为曲线在点处的切线的斜率. 3、 可导与连续的关系: 4、 求导的方法 1) 导数定义; 2) 基本公式; 3) 四则运算; 4) 复合函数求导(链式法则); 5) 隐函数求导数; 6) 参数方程求导; 7) 对数求导法. 5、 高阶导数 1) 定义: 2) Leibniz公式: (二) 微分 1) 定义:,其中与无关. 2) 可微与可导的关系:可微可导,且 三、 微分中值定理与导数的应用 (一) 中值定理 1、 Rolle罗尔定理:若函数满意: 1); 2); 3); 则. 2、 Lagrange拉格朗日中值定理*:若函数满意: 1); 2); 则. 3、 Cauchy柯西中值定理:若函数满意: 1); 2);3) 则 (二) 洛必达法则 (三) Taylor公式 (四) 单调性及极值 1、 单调性判别法:,,则若,则单调增加;则若,则单调削减. 2、 极值及其判定定理: a) 必要条件:在可导,若为的极值点,则. b) 第一充分条件:在的邻域内可导,且,则①若当时,,当时,,则为极大值点;②若当时,,当时,,则为微小值点;③若在的两侧不变号,则不是极值点. c) 其次充分条件:在处二阶可导,且,,则 ①若,则为极大值点;②若,则为微小值点. 3、 凹凸性及其推断,拐点 1)在区间I上连续,若,则称在区间I 上的图形是凹的;若,则称在区间I 上的图形是凸的. 2)判定定理:在上连续,在上有一阶、二阶导数,则 a) 若,则在上的图形是凹的; b) 若,则在上的图形是凸的. 3)拐点:设在区间I上连续,是的内点,假如曲线经过点时,曲线的凹凸性变更了,则称点为曲线的拐点. (五) 不等式证明 1、 利用微分中值定理; 2、 利用函数单调性; 3、 利用极值(最值). (六) 方程根的探讨 1、 连续函数的介值定理; 2、 Rolle定理; 3、 函数的单调性; 4、 极值、最值; 5、 凹凸性. (七) 渐近线 1、 铅直渐近线:,则为一条铅直渐近线; 2、 水平渐近线:,则为一条水平渐近线; 四、 不定积分 (一) 概念和性质 1、 原函数:在区间I上,若函数可导,且,则称为的一个原函数. 2、 不定积分:在区间I上,函数的带有随意常数的原函数称为在区间I上的不定积分. 3、 基本积分表(P188,13个公式); 4、 性质(线性性). (二) 换元积分法 1、 第一类换元法(凑微分): 2、 其次类换元法(变量代换:三角代换、倒代换、根式代换等): (三) 分部积分法:(反对幂指三,前U后V’) (四) 有理函数积分 1、“拆”; 2、变量代换(三角代换、倒代换、根式代换等). 五、 定积分 (一) 概念与性质: 1、 定义: 2、 性质:(7条) 性质7 (积分中值定理) 函数在区间上连续,则,使 (平均值:) (二) 微积分基本公式(N—L公式) 1、 变上限积分:设,则 推广: 2、 N—L公式:若为的一个原函数,则 (三) 换元法和分部积分 1、 换元法: 2、 分部积分法: (四) 反常积分 1、 无穷积分: 2、 瑕积分: (a为瑕点) (b为瑕点) 两个重要的反常积分: 1) 2) 第 9 页 共 9 页