勾股定理单元复习教案
年级 数学 科辅导讲义(第 讲) 学生姓名: 授课老师: 授课时间: 专 题 勾股定理章节复习 目 标 驾驭勾股定理与其逆定理 重 难 点 勾股定理的应用 常 考 点 勾股定理的计算、勾股定理的应用 勾股定理 学问梳理 1.勾股定理:直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方。若直角三角形的两条直角边为a、 b,斜边为c,则a²+b²=c²。 2.勾股定理的逆定理:假如三角形的三边长a,b,c有下面关系:a²+b²=c²,则这个三角形是直角三角形。 3.满意a²+b²=c²的三个正整数,称为勾股数。若a,b,c是一组勾股数,则ak,bk,ck(k为正整数)也必定是一组勾股数。常用的几组勾股数有3,4,5;5,12,13;6,8,10;7,24,25;8,15,17;9,40,41等。 4.勾股定理的应用: ①圆柱形物体表面上的两点间的最短距离; ②长方体或正方体表面上两点间的最短距离问题。 5.直角三角形的判别: ①定义,推断一个三角形中有一个角是直角; ②依据勾股定理的逆定理,三角形一边的平方等于另外两边的平方和,则该三角形是直角三角形。 6.拓展:特别角的直角三角形相关性质定理。 精讲点拨 考点1. 勾股定理 【例1】在Rt△ABC中,已知两边长为3、4,则第三边的长为 变式1 在Rt△ABC中,已知两边长为5、12,则第三边的长为 变式2 等边三角形的边长为6,则它的高是________ 变式3 在Rt△ABC中,∠C=90°,a,b,c分别为∠A,∠B,∠C所对的边, (1)已知c=4,b=3,求a; (2)若a:b=3:4,c=10cm,求a、b。 考点2. 勾股定理的证明 【例2】如图:由四个全等直角三角形拼成如下大的正方形,求证: 变式 如图:由四个全等直角三角形拼成如下大的正方形,求证: 考点3 勾股定理的应用 【例3】 如图,A市气象站测得台风中心在A市正东方向300千米的B处,以10千米/时的速度向北偏西60°的BF方向移动,距台风中心200千米范围内是受台风影响的区域. (1)A市是否会受到台风的影响?写出你的结论并赐予说明; (2)假如A市受这次台风影响,则受台风影响的时间有多长? 变式1 飞机在空中水平飞行,某一时刻刚好飞到一个男孩子头顶上方4000米处,过了20秒,飞机距离这个男孩子头顶5000米,飞机每小时飞行多少千米? 变式2 一个25m长的梯子AB,斜靠在一竖直的墙AO上,这时的AO距离为24m,假如梯子的顶端A沿墙下滑4m,则梯子底端B也外移4m吗? 考点4. 直角三角形的判定 【例4】三角形的三边为a、b、c,由下列条件不能推断它是直角三角形的是( ) A.a:b:c=8∶16∶17 B. a2-b2=c2 C.a2=(b+c)(b-c) D. a:b:c =13∶5∶12 变式1 三角形的三边长为,则这个三角形是( ) A. 等边三角形 B. 钝角三角形 C. 直角三角形 D. 锐角三角形. 变式2 已知,△中,,,边上的中线,试说明△是等腰三角形. 变式3 如图,在正方形ABCD中,F为DC的中点,E为BC上一点,且EC=BC, 求证:AF⊥EF. 考点5. 勾股定理与其逆定理相关面积计算 【例5】一个零件的形态如图,已知∠A=900,按规定这个零件中∠DBC应为直角,工人师傅量得零件各边尺寸:AD = 4,AB = 3, BC = 12 , DC=13,问这个零件是否符合要求,并求四边形ABCD的面积. 变式1 如图示,有块绿地ABCD,AD=12m,CD=9m,AB=39m,BC=36m,∠ADC=90°,求这块绿地的面积。 变式2 求知中学有一块四边形的空地ABCD,如下图所示,学校安排在空地上种植草皮,经测量 ∠A=90°,AB=3m,BC=12m,CD=13m,DA=4m,若每平方米草皮须要200元,问学校须要投 入多少资金买草皮? 考点6. 折叠问题 【例6】折叠长方形ABCD的一边AD,使点D落在BC边的F点处,若AB=8cm,BC=10cm。 求EC的长. 变式1 如图,一块直角三角形的纸片,两直角边AC=6㎝,BC=8㎝。现将直角边AC沿直线AD折叠,使它落在斜边AB上,恰与AE重合,则CD等于( ) A.2㎝B.3㎝C.4㎝D.5㎝ 变式2 如图,在矩形中,将矩形折叠,使点B与点D重合,落在处,若,则折痕的长为 。 变式1 图 变式2 图 章节练习 一、选择题 1. 下列各组能组成直角三角形的是 ( ) A. 4、5、6 B. 2、3、4 C. 11、12、13 D. 8、15、17 2. 若等腰三角形的腰长为10,底边长为12,则底边上的高为( ) A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 3. 如图,每个小正方形的边长为1,A、B、C是小正方形的顶点,则∠ABC的度数为( ) A.90° B.60° C.45° D.30° 4. 直角三角形的两直角边分别为5厘米、12厘米,则斜边上的高是( ) A. 6厘米 B. 8厘米 C. 厘米 D. 厘米 5. 已知一个直角三角形的两边长分别为3和4,则第三边长的平方是( ) 3题 图 A. 5 B. 25C. 7D. 25或7 二、填空题 6. 在△ABC中,∠C=90°,若 c=17,b=15,则a= . 7. 如图,中间三角形是直角三角形,64、400分别为所在正方形的面积,则图中字母A所代表的正方形面积是 8. 有以下几组数据 ①3、4、5 ;②17、15、8;③10、6、14;④12、5、13;⑤300、160、340;⑥0.3, 0.4,0.5.其中可以构成勾股数有 9. 如图某楼梯的长为5米,高3,安排在楼梯表面铺地毯,地毯的长度