复区间矩阵的Gerschgorin圆盘定理及正则性条件

第 44 卷第 1 期 2024 年 3 月 数学理论与应用 MATHEMATICAL THEORY AND APPLICATIONS Vol.44No.1 Mar. 2024 复区间矩阵的 Gerschgorin 圆盘定理及正则性条件 成龙1夏丹丹1李耀堂2,* (1. 重庆对外经贸学院数学与计算机学院, 重庆, 401520; 2. 云南大学数学与统计学院, 昆明, 650091) 摘要本文将矩阵特征值的 Gerschgorin 圆盘定理推广到复区间矩阵, 给出复区间矩阵特征值的 Gerschgorin 圆盘区域, 并证明所给复区间矩阵特征值的 Gerschgorin 圆盘区域包含于已有的复区间矩阵 特征值的 Gerschgorin 方盘区域. 最后, 应用复区间矩阵特征值的 Gerschgorin 圆盘定理得到复区间矩阵正则 的两个新的充分条件. 关键词复区间矩阵特征值Gerschgorin 圆盘定理正则性 The Gerschgorin Disk Theorem and Regularity Conditions for Complex Interval Matrices Cheng Long1Xia Dandan1Li Yaotang2,* (1. School of Mathematics and Computer Science, Chongqing University of International Business and Economics, Chongqing 401520, China; 2. School of Mathematics and Statistics, Yunnan University, Kunming 650091, China) AbstractIn this paper, the Gerschgorin disk theorem on eigenvalues of complex matrices is generalized to complex interval matrices, in which the Gerschgorin disk regions of eigenvalues of complex interval matrices are presented. It is showed that the Gerschgorin disk regions are contained in the Gerschgorin square regions for eigenvalues of complex interval matrices. Then, two new sufficient conditions for the regularity of complex interval matrices are obtained by applying the Gerschgorin disk theorem of complex interval matrices. Key wordsComplex interval matrixEigenvalueGerschgorin disk theoremRegularity doi:10.3969/j.issn.1006­8074.2024.01.008 1引言 控制系统、振动系统、质量结构系统、汽车悬架系统等系统的特性由系统的雅可比矩阵特征 值的大小决定[1 – 4]. 由于面对系统的各种不确定因素, 系统的雅可比矩阵的元素往往取值于某个区 间中. 此时系统的特性由区间雅可比矩阵的特征值大小决定. 因此, 对区间矩阵特征值的估计具有 重要的应用意义. 国家自然科学基金 (No. 11861077) 和重庆对外经贸学院科学研究项目基金 (Nos. KYKJ202208, KYZK202311) 资助 通信作者: 李耀堂 (1958 – ), 教授, 研究方向: 数值代数、张量 (矩阵) 谱理论及其应用; E­mail: liyaotang@ 收稿日期: 2023 年 11 月 8 日 110数学理论与应用 区间矩阵特征值的估计问题吸引了众多学者的关注和研究[5 – 11,13 – 19]. 1982 年 Deif 利用区间矩 阵特征值不等式和非线性规划理论, 在特征向量分量符号不变的条件下, 得到了实对称区间矩阵特 征值的算法[5]. 由于在应用中特征向量分量符号不变的条件往往很难满足和验证, 因此该算法不能 得到广泛应用. 1998 年 Rohn 利用实区间矩阵的中点矩阵、半径矩阵、以及其组成的实对称矩阵 的特征值给出了实区间矩阵特征值的实部和虚部的估计式[6]. 2008 年 Hertz 推广了文献 [6] 中的结 果, 给出了复区间矩阵特征值的实部和虚部的估计式[7]. 另一方面, 对于某些实际应用问题, 往往并 不需要精确计算出区间矩阵的特征值, 只需要知道其特征值在复平面上的大概位置即可. 例如对鲁 棒稳定控制器设计问题中的连续时间区间动力系统 dx(t) dt = AIx(t), 当 Re ?λ?AI?? 0, 则称 A 0; 若 ajk− bjk≥ 0, 则称 A ≥ B; 若 ajk− bjk 0, 则称 A B. 1966 年, Moore 提出了实区间矩阵的概念, 即元素为闭区间的矩阵, 其定义如下. 定义 2.2 ([13])设对任意的 j = 1,2,··· ,m, k = 1,2,··· ,n, ajk, ajk∈ R, 且 ajk≥ ajk. 称矩 阵集合 AI= ?A ∈ Rm×n : A ≥ A ≥ A? 为 m × n 阶实区间矩阵, 其中 A =        a11a12···a1n a21a22···a2n . . . . . . . . . . . . am1am2···amn        ,A =        a11a12···a1n a21a22···a2n . . . . . . . . . . . . am1am2···amn        . 记 AI ∆ = [A,A] ∆ = ([ajk,ajk])m×n=        [a11,a11][a12,a12]···[a1n,a1n] [a21,a21][a22,a22]···[a2n,a2n] . . . . . . . . . . . . [am1,am1][am2,am2]···[amn,amn]        , 复区间矩阵的 Gerschgorin 圆盘定理及正则性条件111 Ac= 1 2(A + A), A∆ = 1 2(A − A), 则 A I 还可表示为 [Ac− A∆,Ac+A∆], 其中 A 和 A 分别称为 AI 的下界矩阵和上界矩阵, Ac和 A∆分别称为 AI的中点矩阵和半径矩阵. 若 m = n, 则称 AI为 n 阶实区间矩阵. 定义 2.3 ([7])设 AI, BI是 m × n 阶实区间矩阵. 称矩阵集合 AI+ iBI= ?A + iB : A